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1、人教版高三第一轮复习数学教案 孟繁露高三第一轮复习数学-球一、教学目标：了解球、球面的概念, 掌握球的性质及球的表面积、体积公式, 理解球面上两点间距离的概念, 了解与球的有的内接、外切几何问题的解法二、教学重点： 球面与球体的有关概念、性质与计算公式是重点，球面上两点间的距离是本小节的难点。三、教学过程：（一）主要知识：O 1、球的概念：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。球面所围成的几何体叫做球。半圆的圆心叫做球心。连接球心与球上任意一点的线段叫做球半径。连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。球面被经过球心的平面所截得的圆叫做大圆。被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆。2
2、、球的截面圆的性质： 球心到截面圆心的连线垂直于截面； 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r，有下面的关系：r2=R2d2。3、两点的球面距离的定义：在球面大圆上两点间的劣弧的长度。 求两点的球面距离的方法：将A、B两点与球心O连线，先求出弦长AB，在三角形ABO中求出AOB的弧度数，由公式弧长l=R得到。4、球的表面积与体积：S球面=4R2，V=4/3R3。5、地球上的经度与纬度各指什么？6、与球有关的结合体问题（内切，外接）的解法：先明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系并作出合适的截面图。（二）例题分析：例1：如图，在北纬450的纬度圈上有A，B两点，它们分别在东经700
3、与东经1600的经度圈上，设地球的半径为R，求A、B两点的球面距离。解：如图设北纬450圈的圆心为O1，地球球心为O，则AO1B=1600-700=900，OBO1=450，OB=R，O1B=O1A=ABR，AB=R，连接AO、AB，则AO=BO=AB=R，AOB=600， =。思维点拨：为求A、B两点间的球面距离，要把它组织到AOB中去分析，只要求得AOB的度数便可求得球面距离。OBACD变式：地球上A，B两点分别在北纬600与300圈上，且经度差为1200，设地球的半径为R，求A，B两点的球面距离。解：如图，连接AO、BO，A，B分别在北纬600与300圈上，AC=Rcos600=R/2，
4、OC=Rsin600=R，BD=Rcos300=R，OD=Rsin300=R/2，CD=OCOD=R，又A，B两点的经度差为1200，即平面AOC与平面BOD所成的二面角为1200，AB2=AC2+BD2+CD22AC BDcos1200=(2) R2。cosAOB=。所球距离为Rarccos。OO1O2例2：在球内有相距9cm的两个平行截面，面积分别为49cm2、400cm2，则求的表面积为_。解：作球的一个大圆O，当两个截面在球心O的同侧时，解得R=25。当两个截面在球心O的两侧时无解。S表=2500cm2。思维点拨：立体几何中的相互位置关系，也应注意分类讨论。A1ACC1O例3：求半径为
5、R的球内接长方体体积的最大值。解：作截面ACC1A1，设CAC1=，则C1C=2Rsin，AC=2Rcos，所以AB=Rcos。故V=AB2CC1=2R2cos22Rsin=4R3 cos2sin=。当且仅当2sin2=cos2，即tan=时取“=”。思维点拨：立体几何中的最值问题，首先确定目标函数再求其最值。例4：已知球的半径为R，在球内作一内接圆柱，这个圆柱的底半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值为多少？OCAB解：作轴截面图，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，则，即h=，S=2rh=4r=4=2R2，取等号时，内接圆柱底面半径为R，高为R。选讲题：一个球内切于正三棱锥
6、PABC。（1）若棱锥的侧面与底面所成的角为600，求棱锥的体积与球的体积之比；ABCDPOQAODQPAODQP（甲）（乙）（2）若棱锥的体积与球的体积之比等于（1）所求出的值，则棱锥的侧面与底面所成的角是否一定为600，说明理由。解：（1）如图甲，由对称性可知，球心Q在棱锥的高PO上，取BC的中点D，则PDBC，ADBC，故PDA是侧面与底面所成二面角的平面角，即有PDA=600。PABC是正三棱锥，O在AD上，故球心Q在平面PAD内。故过P，A，D三点的截面如图乙，其中圆Q是球的一个大圆。设底面ABC的边长为a，由DQ平分PDA得R=OQ=ODtan300=a tan300=，又PO=O
7、Dtan600=，。（2）设正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为2，仿（1）得，由题设得=，即tan2=9tan3。化简并整理可得tan2=1/3或 tan2=2/3。又为锐角，tan=或tan=，即2=或2arctan，故棱锥侧面与底面所成的二面角未必为。思维点拨：1）组合体问题常涉及球与多面体的切、割、接等关系，解题的关键是作一个恰当地过球心的截面，使有关元素集中在包括一个大圆在内的截面图形内，从而将空间元素的关系化为平面内元素的关系。2）本例第（2）小题是一探索性问题，需给出正确结论并说明理由，解这类问题切忌盲目猜测，要严密论证或举反例说明。（三）巩固练习：1、有下列命题：过球面上任意两点
8、只能作一个球的大圆；球的任意两个大圆的交点的连结是球的直径；用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面； 球是与定点的距离等于定长的所有点的集合；球面积是它大圆面积的4倍；球面上两点的球面距离，是这两点所在截面上以这两点为端点的劣弧的长其中正确命题的个数是（ B ）A、 2 B、3 C、4 D、52、球的截面性质2、已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6，AB=4，求球面面积与球的体积。解：如右图所示,设球心为O，球半径为R，做OO1平面ABC于O1，由于OA=OB=OC=R，则O1是的外心，设M是AB的中点，由于AC=BC，则O1，设O1M=
9、x，易知O1MAB，则，解得，则O1A=O1B=O1C=在中，OA=R，由勾股定理得，解得故，3.球面距离问题3、把地球当作半径为R的球，地球上A、B两点都在北纬的纬线上，A、B两点的球面距离是，A在东经，求B点的位置。解：如图，求B点的位置即求B点的经度，设B点在东经或西经因为A、B两点的球面距离是，因而三角形AOB是等边三角形，又求出，则或所以，B点在北纬，东经或西经。小结：求球面上两点间的最短距离（球面距离）的具体步骤是：计算线段AB的长；计算A、B到球心O的张角AOB（用弧度量）；计算球大圆在A、B两点间的劣弧长。4、与球有关的组合体4、半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面
10、圆上，若正方体的一棱长为，求半球的半径。解：沿正方体的对角面作半球的轴截面，如图：则故半球的半径为3。小结：正方体与其内切球的问题，常用过球心且与正方体侧面平行的剖面。正方体与其外接球的问题,常用正方体的对角面与球大圆的剖面图。四、小结：1、球的面积、体积及基本性质是解决有关问题的重要依据，它的轴截面图形、球半径、截面圆半径、圆心距所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法。2、要正确区分球面上两点间的直线距离与球面距离；计算A，B两点的球面距离的关键是搞清纬度、经度、纬度差、经度差等概念。具体步骤是：（1）计算线段AB的长度；（2）计算A、B到球心O的张角；（3）计算球的大圆在A、B两点间所夹的劣弧长。五、作业：第 1 页 共 5 页
