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1、热门题型题型1 不等式的性质及大小比较题型2 利用不等式的性质求代数式的取值范围题型3 一元二次不等式的解法题型4 二元一次不等式组表示的平面区域题型5 求解目标函数的取值范围或最值题型6 基本不等式 题型1 不等式的性质及大小比较例1 (1)若a，bR，下列命题中：若|a|b，则a2b2；若a2b2，则|a|b；若a|b|，则a2b2；若a2b2，则a|b|. 其中正确的是_(2)已知四个条件：b0a；0ab；a0b；ab0，能推出成立的是_变式1.（2014 四川理 4）若，则一定有（ ）.A B C D 解析：方法一：不妨令a=3，b=1，c=3，d=1，则ac=1,bd=1，A、B不正
2、确；ad=3,bc=13，C不正确，D正确。解法二：cdd0，ab0，acbd，accdbdcd，adbc. 选D.变式2.（2016全国丙理6）已知，则（ ）.A. B. C. D.解析：选A. 由，得，由，则因此.故选A.变式3.（2016全国乙理8）若，则（ ）.A. B. C. D.对于选项C，要比较与的大小关系，只需比较与的大小，即比较与的大小.构造辅助函数，.令，得.函数在上单调递增，因此，若，得，故.又，所以，即，得.故选项C正确；对于选项D，比较与的大小，只需比较与的大小，即比较与的大小.又，得，所以.又，得，即.故选项D不正确. 综上可得，故选C.例2 （2015全国2理24
3、）设均为正数，且. 证明：(1) 若，则；(2) 是 的充要条件.解析：（1）因为，由题设，得，因此.（2）( i)若，则，即.因为，所以，由（）得.( ii)若，则，即.因为，所以，于是，因此.综上，是的充要条件.变式1 . (1)设xya0，实数m0)的大小(3)已知a0，b0，且ab，试比较与的大小（3），若ab0，则1，ab0.由指数函数的性质()1.若ba0，则01，ab1.，. 题型2 利用不等式的性质求代数式的取值范围例3 已知1xy4且2xy3，则z2x3y 的取值范围是_(答案用区间表示)方法二：令 2x3y23b(3，8)方法三：由确定的平面区域如图阴影部分目标函数z2x3
4、y可化为yx，由线性规划知识可求出z2x3y 的取值范围是(3，8).【解题技巧】(1)由af1(x，y)b，cf2(x，y)0；(2)x24x50；(3)ax2(a1)x10； (3)若a0，原不等式等价于x11.若a0，解得x1.若a0，原不等式等价于(x)(x1)0.当a1时，1，(x)(x1)1时，1，解(x)(x1)0得x1；当0a1，解(x)(x1)0得1x.综上所述：当a0时，解集为x|x1；当a0时，解集为x|x1；当0a1时，解集为x|1x1时，解集为x|x0(a0)，ax2bxc0)；计算相应的判别式；当0时，求出相应的一元二次方程的根；根据对应二次函数的图像，写出不等式的
5、解集(2)解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类例5 （1） (2017辽阳统考)不等式0的解集是()A(，1)(1，2) B1，2 C(，1)2， D(1，2（2）设一元二次不等式ax2bx10的解集为(1，)，则ab的值为()A6 B5 C6 D5变式1.已知关于的等式的解集为，求关于的不等式的解集.解析：解法一：由关于的不等式的解集为，得，则，得，（，关于的不等式可变形为，故解集为.解法二：因为方程与方程的根互为相反数，若不等式的解集为，所以，且
6、方程的两根为，因此方程两根，不等式的解集为 题型4 二元一次不等式组表示的平面区域例6 画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x，y的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？(3)求所围平面区域的面积结合图中可行域得x，3，y3，8(2)由图形及不等式组知当x3时，3y8，有12个整点；当x2时，2y7，有10个整点；当x1时，1y6，有8个整点；当x0时，0y5，有6个整点；当x1时，1y4，有4个整点；当x2时，2y3，有2个整点平面区域内的整点共有2468101242(个)(3)由(1)知，x，3，y3，8，S(3)(38).【解题技巧】 (1)确定AxByC0表示的区域
7、有两种方法：试点法，一般代入原点；化为ykxb(ykxb)的形式不等式ykxb表示的区域为直线ykxb的上方，不等式ykxb表示的区域为直线ykxb的下方(2)在封闭区域内找整点数目时，若数目较小时，可画网格逐一数出；若数目较大，则可分xm逐条分段统计 题型5 求解目标函数的取值范围或最值例7 已知x，y满足约束条件(1)求目标函数z2xy的最大值和最小值；(2)求目标函数z2xy的最大值和最小值；(3)若目标函数zaxy取得最大值的最优解有无穷多个，求实数a的值；(4)求z的取值范围；(5)求zx2y2的取值范围【解析】作出不等式组表示的可行域如图： (2)作直线l：2xy0，并平移此直线，
8、当平移直线过可行域内的A点时，z取得最小值；当平移直线过可行域内的B点时，z取最大值，解得A(1，) 解得B(5，3)zmax25313，zmin21. (4) z，可看作区域内的点(x，y)与点D(5，5)连线的斜率由图可知，kBDzkCD. kBD，kCD，z的取值范围是，(5)zx2y2，则为点(x，y)与原点(0，0)的距离，结合不等式的区域，易知A点到原点距离最小为，最大值为|OB|，|OC|，原点O到直线3x5y30距离三者之一，计算得，最大值为|OC|.x2y2的取值范围为，【解题技巧】目标函数最值的求法(1)求zaxby的最值时，一般先化为yx的形式.为直线yx在y轴上的截距，
9、当b0时将直线上移z变大，当b0时将直线下移z变大(2)代数式(xa)2(yb)2为点(x，y)与点(a，b)距离的平方；为点(x，y)与点(a，b)连线的斜率；|AxByC|表示点(x，y)到直线AxByC0的距离的倍变式1. (2017北京理4)若，满足，则的最大值为（ ）.A.1 B. 3 C.5 D.9解析 作出不等式组的可行区域，如图所示，令，则.当过点时取最大值，由，故.故选D.变式2.（2017全国1理14）设x，y满足约束条件，则的最小值为 .变式3.（2015全国1理15）若，满足约束条件，则的最大值为 .解析 作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原
10、点连线的斜率，由图可知，点与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.变式4（2016江苏12）已知实数满足，则的取值范围是 题型6 基本不等式例8（2017江苏10）某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元次，一年的总存储费用为万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是 解析 一年的总运费与总存储费用之和为，当且仅当，即时取等号故填【高考真题链接】1.（2015安徽理3）设，则是成立的（ ）.A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析 由得，所以，但，所以是的充分不必要条件故选A2.（2015湖北理8）将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同
11、时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（ ）A对任意的， B当时，；当时，C对任意的， D当时，；当时，3.（2015陕西理9）设，若，则下列关系式中正确的是（ ）A B C D解析 解法一：依题意，所以.故选C.解法二：令，所以.故选C.4.（2015天津理7）已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，则， 的大小关系为（ ）.A. B C D. 解析 因为函数为偶函数，所以，即，所以. 所以.故选C.5.(2017北京理13)能够说明“设是任意实数若，则”是假命题的一组整数的值依次为_解析 由题知，取一组特殊值且为整数，如，.6.（2017山东理7）若，且，则下列不等式成立的是（ ）.A. B.C. D.
