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1、 角 的所有三角函数三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。 锐角三角函数定义如右图，当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一
2、个直角三角形，其中ACB为直角。对于AB与AC的夹角BAC而言： RtABC对边（opposite）a=BC 斜边（hypotenuse）h=AB 邻边（adjacent）b=AC 基本函数英文缩写表达式语言描述正弦函数Sinesina/hA的对边比斜边余弦函数cosinecosb/hA的邻边比斜边 正切函数Tangenttana/bA的对边比邻边余切函数Cotangentcotb/aA的邻边比对边正割函数Secantsech/bA的斜边比邻边余割函数Cosecantcsch/aA的斜边比对边(注：tan、cot曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法。) 罕见三角函数除了上述六个常见的函数，还
3、有一些不常见的三角函数： 函数名与常见函数转化关系正矢函数versin=1-cosvercosin=1+cos余矢函数coversin=1-sincovercosin=1+sin半正矢函数haversin=(1-cos)/2havercosin=(1+cos)/2半余矢函数hacoversin=(1-sin)/2hacovercosin=(1+sin)/2外正割函数exsec=sec-1外余割函数excsc=csc-1任意角三角函数定义如图：在平面直角坐标系中设O-x为任意角的始边，在角终边上任取一点P（x，y），令OP=r. 三角函数sin=y/r csc=r/y cos=x/r sec=r
4、/x 1 tan=y/x cot=x/y 单位圆定义六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 /2 弧度之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理， 那么向量MP对应的就是的正弦值，向量OM对应的就是余弦值。OP的延长线（或反向延长线）与l的交点为T，则向量ST对应的就是正切值。向量的起止点不能颠倒，因为其方向是有意义的。 借助线三角函数线，我们可以观察到第二象限角的正弦值为正，余弦值为负，正切值
5、为负。 三角函数三角学理论的基础，是对三角形各元素之间相依关系的认识。一般认为，这一认识最早是由希腊天文学家获得的。当时，希腊天文学家为了正确地测量天体的位置。研究天体的运行轨道，力求把天文学发展成为一门以精确的观测和正确的计算为基础之具有定量分析的科学。他们给自己提出的第一个任务是解直角三角形，因为进行天文观测时，人与星球以及大地的位置关系，通常是以直角三角形边角之间的关系反映出来的。在很早以前，希腊天文学家从天文观测的经验中获得了这样一个认识：星球距地面的高度是可以通过人观测星球时所采用的角度来反映的(如图一)；角度(ABC)越大，星球距地面(AC)就越高。然而，星球的高度与人观测的角度之
6、间在数量上究竟怎么样呢？能不能把各种不同的角度所反映的星球的高度都一一算出来呢?这就是天文学向数学提出的第一个课题制造弦表。所谓弦表，就是在保持AB不变的情况下可以供查阅的表 (如图二)，AC的长度与ABC的大小之间的对应关系。 三角函数的特殊值 角度030456090120135150180270弧度0/6/4/3/22/33/45/63/2sin值01/22/23/213/22/21/20-1cos值13/22/21/20-1/2-2/2-3/2-10tan值03/313-3-1-3/30cot值313/30-3/3-1-30编辑本段公式同角三角函数关系式 平方关系 倒数关系 商的关系(s
7、in)2+(cos)2=1 (tan)2+1=（sec）2 (cot)2+1=(csc)2tan cot=1 sin csc=1 cos sec=1sin/cos=tan=sec/csc cos/sin=cot=csc/sec积的关系sin=tancos cos=cotsin tan=sinsec cot=coscsc sec=tancsc csc=seccot对称性 180度-的终边和的终边关于y轴对称。 -的终边和的终边关于x轴对称。 180度+的终边和的终边关于原点对称。 90度-的终边和的终边关于y=x对称。 三角形与三角函数1、正弦定理：在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即
8、a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R (其中R为外接圆的半径) 2、第一余弦定理：三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和，即a=c cosB + b cosC 3、第二余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a2=b2+c2-2bccosA 4、正切定理(napier比拟)：三角形中任意两边差和的比值等于对应角半角差和的正切比值，即（a-b）/(a+b)=tan(A-B)/2/tan(A+B)/2=tan(A-B)/2/cot(C/2) 5、三角形中的恒等式： 对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA
9、+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证明： 已知(A+B)=(-C) 所以tan(A+B)=tan(-C) 则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 类似地，我们同样也可以求证:当+=n(nZ)时，总有tan+tan+tan=tantantan 定义域和值域sin(x),cos(x)的定义域为R，值域为-1,1。 tan(x)的定义域为x不等于/2+k（kZ），值域为R。 cot(x)的定义域为x不等于k（kZ）,值域为R。 y=asin(x)+bcos(x)+
10、c 的值域为 c-(a²+b²) , c+(a²+b²） 三角函数的画法以y=sinx的图像为例，得到y=Asin(x+)的图像： 方法一： y=sinx【左移(0)/右移(1 / 缩短0A0)/右移(1 / 缩短0A1)】 y=Asin(x+) 初等三角函数导数三角函数图象y=sinx-y=cosx y=cosx-y=-sinx y=tanx-y=1/cos2x =sec2x y=cotx-y= -1/sin2x= - csc2x y=secx-y=secxtanx y=cscx-y=-cscxcotx y=arcsinx-y=1/(1-x²
11、) y=arccosx-y= -1/(1-x²) y=arctanx-y=1/(1+x²) y=arccotx-y= -1/(1+x²) 备注：此处² 是对前式进行平方：x² 也即 x2 倍半角规律如果角a的余弦值为1/2，那么a/2的余弦值为3/2 反三角函数三角函数的反函数，是多值函数。它们是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-/2y/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=ar
12、csin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0y；反正切函数y=arctan x的主值限在-/2y/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0y。 反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1(x). 反三角函数主要是三个： y=arcsin(x)，定义域-1,1，值域-/2,/2，图象用红色线条； y=arccos(x)，定义域-1,1，值域0,，图象用蓝色线条； y=arctan(x)，定义域(-，+)，值域(-/2,/2)，图象用绿色线条； sinarcsin(x)=x,定义域-1,1,值域 -/2,/2 证明方法如下：设arcsin(x)=y,则sin(y)=x ,将这两个式子代入上式即可得 其他几个用类似方法可得。 编辑本段高等应用总体情况高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)： sinz=e(iz)-e(-iz)/(2i) cosz=e(iz)+e(-iz)/2 tanx=e(iz)-e(-iz)/ie(iz)+ie(-iz) 泰勒展开有无穷级数，ez=exp(z)=1+z/1！+z2/2！+z3/3！+z4/4！+z
