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1、第五节椭_圆知识能否忆起1椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点F1，F2间的距离叫做椭圆的焦距2椭圆的标准方程及其几何性质条件2a2c，a2b2c2，a0，b0，c0图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围|x|a；|y|b|x|b；|y|a对称性曲线关于x轴、y轴、原点对称曲线关于x轴、y轴、原点对称顶点长轴顶点(a,0) 短轴顶点(0，b)长轴顶点(0，a) 短轴顶点(b,0)焦点(c,0)(0，c)焦距|F1F2|2c(c2a2b2)离心率e(0,1)，其中c通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为小
2、题能否全取1(教材习题改编)设P是椭圆1的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A4B8C6 D18解析：选C依定义知|PF1|PF2|2a6.2(教材习题改编)方程1表示椭圆，则m的范围是()A(3,5) B(5,3)C(3,1)(1,5) D(5,1)(1,3)解析：选C由方程表示椭圆知解得3m5且m1.3(2012淮南五校联考)椭圆1的离心率为，则k的值为()A21 B21C或21 D.或21解析：选C若a29，b24k，则c，由，即，得k；若a24k，b29，则c，由，即，解得k21.4(教材习题改编)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8.
3、则该椭圆的方程是_解析：2c8，c4，e，故a8.又b2a2c248，椭圆的方程为1.答案：15已知F1，F2是椭圆C的左，右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|2|PF2|，PF1F230，则椭圆的离心率为_解析：在三角形PF1F2中，由正弦定理得sinPF2F11，即PF2F1，设|PF2|1，则|PF1|2，|F2F1|，所以离心率e.答案：1.椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|.因为当平面内的动点与定点F1，F2的距离之和等于|F1F2|时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1，F2的距离之和小于|F1F2|时，其轨迹不存在2已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点
4、位置的判断，当焦点位置不明确时，要分两种情形讨论椭圆的定义及标准方程典题导入例1(2012山东高考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为.双曲线x2y21的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()A.1B.1C.1 D.1自主解答椭圆的离心率为，a2b.故椭圆方程为x24y24b2.双曲线x2y21的渐近线方程为xy0，渐近线xy0与椭圆x24y24b2在第一象限的交点为，由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为bb4，b25，即a24b220.故椭圆C的方程为1.答案D本例中条件“双曲线x2y21的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶
5、点的四边形的面积为16”变为“此椭圆的长轴长等于圆x2y22x150的半径”问题不变解：x2y22x150，(x1)2y216，r4，即2a4，a2.又，c，b1，故椭圆方程为y21.由题悟法1解决与到焦点的距离有关的问题时，首先要考虑用定义来解题2椭圆方程的求法多用待定系数法，其步骤为：(1)定标准；(2)设方程；(3)找关系；(4)得方程3当椭圆焦点位置不明确时，可设为1(m0，n0，mn)，也可设为Ax2By21(A0，B0，且AB)以题试法1(2012张家界模拟)椭圆y21的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|()A. B.C. D4解析
6、：选A因为a24，b21，所以a2，b1，c.不妨设F1为左焦点，P在x轴上方，则F1(，0)，设P(，m)(m0)，则m21，解得m，所以|PF1|根据椭圆定义|PF1|PF2|2a，所以|PF2|2a|PF1|22.椭圆的几何性质典题导入例2(1)F1、F2是椭圆y21的左右焦点，点P在椭圆上运动则的最大值是()A2B1C2 D4(2)(2012江西高考)椭圆1(ab0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1、F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.B.C. D.2自主解答(1)设P(x，y)，依题意得F1(，0)，F2(，0)，(x)(x
7、)y2x2y23x22.0x24，2x221.的最大值是1.(2)由题意知|AF1|ac，|F1F2|2c，|F1B|ac，且三者成等比数列，则|F1F2|2|AF1|F1B|，即4c2a2c2，a25c2，所以e2，故e.答案(1)B(2)B由题悟法1求椭圆的离心率实质上是建立a，b，c中任意两者或三者之间的关系，利用e或e 去整体求解2解决与椭圆几何性质有关的问题时：一是要注意定义的应用；二是要注意数形结合；三是要注意axa，byb，0e1等几何性质在建立不等关系或求最值时的关键作用以题试法2(1)(2012西工大附中适应性训练)已知动点P(x，y)在椭圆1上，若A点的坐标为(3,0)，|
8、,|1，且,0，则|,|的最小值为_(2)设F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左，右焦点，若在直线x上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是_解析：(1)由|,|1，A(3,0)知点M在以A(3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，,0且P在椭圆上运动，PMAM，PM为A的切线，连接PA(如图)，则|,| ，当|,|minac532时，|,|min .(2)设P，线段F1P的中点Q的坐标为，则直线F1P的斜率kF1P，当直线QF2的斜率存在时，设直线QF2的斜率为kQF2(b22c20)由kF1PkQF21得y20，但注意到b22c20，故2c2b20，即3c2a20，
9、即e2，故e1.当直线QF2的斜率不存在时，y0，F2为线段PF1的中点由c2c得e，综上得e1.答案：(1)(2)直线与椭圆的位置关系典题导入例3(2012安徽高考)如图，F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左，右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，F1AF260.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知AF1B的面积为40，求a，b的值自主解答(1)由题意可知，AF1F2为等边三角形，a2c，所以e.(2)法一：a24c2，b23c2，直线AB的方程为y(xc)将其代入椭圆方程3x24y212c2，得B，所以|AB|c.由SAF1B|AF1|AB|sin F1ABaca
10、240，解得a10，b5.法二：设|AB|t.因为|AF2|a，所以|BF2|ta.由椭圆定义|BF1|BF2|2a可知，|BF1|3at，再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60可得，ta.由SAF1Baaa240知，a10，b5.由题悟法1直线与椭圆位置关系的判断将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解的组数来确定，即用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的判断式的符号来确定：当0时，直线和椭圆相交；当0时，直线和椭圆相切；当0时，直线和椭圆相离2直线和椭圆相交的弦长公式|AB|或|AB| .3直线与椭圆相交时的常见处理方法当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根
11、与系数的关系”，设而不求计算弦长；涉及到求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化以题试法3(2012潍坊模拟)已知直线l：yx，圆O：x2y25，椭圆E：1(ab0)的离心率e，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等(1)求椭圆E的方程；(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值解：(1)设椭圆的半焦距为c，圆心O到直线l的距离d，b.由题意知a23，b22.椭圆E的方程为1.(2)证明：设点P(x0，y0)，过点P的椭
12、圆E的切线l0的方程为yy0k(xx0)，联立直线l0与椭圆E的方程得消去y得(32k2)x24k(y0kx0)x2(kx0y0)260，4k(y0kx0)24(32k2)2(kx0y0)260，整理得(2x)k22kx0y0(y3)0.设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1k2，点P在圆O上，xy5，k1k21.故两条切线的斜率之积为常数1.直线与圆锥曲线位置关系是高考的必考内容，主要涉及曲线方程的求法、弦长、最值、定点等问题解决直线与圆锥曲线位置关系问题，一般是联立方程组，消元后得一元二次方程，利用根与系数的关系来解决，重点考查基础知识，通性通法及常用技巧，所以在备考时要重视运算能力的培养与训练，提高运算的速度与准确度“大题规范解答得全分”系列之(八)直线与圆锥曲线位置关系的答题模板典例(2012北京高考满分14分)已知曲线C：(5m)x2(m2)y28(mR)(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；(2)设m4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线ykx4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线教你快速规范审题1审条件，挖解题信息2审结论，明解题方向3建联系，找解题突破口5m0，m20，1审条件，挖解题信息2审结论，明解题方向3建联系，找解题突破口
