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1、第六章计数原理6.26.2排列与组合排列与组合6.2.16.2.1排列排列学习任务1理解并掌握排列的概念(数学抽象)2能应用排列知识解决简单的实际问题(逻辑推理)必备知识情境导学探新知01在数学竞赛颁奖仪式上，辅导老师和甲、乙两名特等奖获得者合影留念，师生三人站成一排，辅导老师在正中间时，甲在左边和乙在左边是相同的排列吗？知识点排列的概念1定义：一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素，并按照_排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列2两个排列相同的充要条件(1)两个排列的元素_(2)元素的排列顺序_一定的顺序完全相同相同思考1如何判断一个具体问题是不是排列问题？提示(1)首先
2、要保证元素互异性，即从n个不同元素中，取出m个不同的元素，否则不是排列问题(2)要保证元素的有序性，即安排这m个元素时是有序的，有序就是排列，无序则不是排列而检验它是否有序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化是有序，无变化就是无序思考2同一个排列中，同一个元素能重复出现吗？提示不能，因为给出的n个元素互不相同，且抽取的m个元素是从n个元素中不重复地抽取的1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列()提示因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺序也相同(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列
3、问题()提示因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺序”有关，属于排列问题(3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题()提示因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题(4)从3，5，7，9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题()提示因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同，结果不同结果与顺序有关，故属于排列问题(5)从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题()提示因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题2下列问题中是排列问题的是()A从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学B从甲、乙、
4、丙三名同学中选出两名同学参加演讲比赛C从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学担任歌咏比赛评委D从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学担任正、副班长D从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学与从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加同一项活动，都没有顺序问题，不是排列，而担任不同的职务是排列问题3元旦来临之际，某寝室四名同学各有一张贺年卡，并且要送给该寝室的其他一名同学，但每人都必须得到一张，则不同的送法有_种99将4张贺年卡分别记为A，B，C，D，且按题意进行排列，用树状图表示为：由此可知共有9种送法关键能力合作探究释疑难02类型1排列的概念类型2排列的列举问题类型3排列问题与分步问题【例1】判断下列问题是否
5、为排列问题(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信类型1排列的概念思路导引解(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所
6、以存在着顺序问题，属于排列问题所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题反思领悟判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑：(1)“取”，检验取出的m个元素是否重复；(2)“排”，检验取出的m个元素是否有顺序性，其关键方法是，交换两个位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序类型2排列的列举问题【例2】从4名运动员中选出3名参加一项比赛，并排定他们的比赛顺序，有多少种不同的方法？写出所有排序方式解要解决这个问题，可以分3个步骤完成第一步，先选定第一名比赛队员，在4名运动员中任取1名，有4种方法；第二步，选定第二名比赛队员，从余下的3名运动员中任取1名，有3种
7、方法；第三步，选定第三名比赛队员，从余下的2名运动员中任取1名，有2种方法根据分步乘法计数原理，共有43224(种)不同的排序方法若记这4名运动员分别为a，b，c，d，则24种不同的方法如图所示由此可写出所有的排序方式：abc，abd，acb，acd，adb，adc；bac，bad，bca，bcd，bda，bdc；cab，cad，cba，cbd，cda，cdb；dab，dac，dba，dbc，dca，dcb反思领悟利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先
8、安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按“树状图”写出排列跟进训练2四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？写出所有坐法解按照ABCD的顺序安排位置，A有4种坐法，B有3种坐法，C有2种坐法，D有1种坐法，由分步乘法计数原理得，有432124(种)坐法画出树状图由树状图可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCA
9、B，DCBA类型3排列问题与分步问题【例3】有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘(1)3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有多少种不同的招聘方案？(用数字作答)(2)每家公司至多招聘一名新员工，3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有多少种不同的招聘方案？(用数字作答)解将5家招聘员工的公司看成5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生(1)第一名大学毕业生有5种选择，第二名大学毕业生有5种选择，第三名大学毕业生也有5种选择，根据分步乘法计数原理可知不同的招聘方案共有555125(种)(2)第一名大学毕业生有5种选择，第二名大学毕业生有4种选择，第三名大学毕业生有3种
10、选择，根据分步乘法计数原理可知不同的招聘方案共有54360(种)反思领悟排列与分步问题的关系(1)排列问题是分步问题；(2)排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素是可以重复选取的跟进训练3用具体数字表示下列问题(1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数；解从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其商共有100999900(个)(2)由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数；解因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字，因此共有3
11、216(个)(3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数解可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到4家单位，故共有5432120(个)分配方案学习效果课堂评估夯基础031从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，其中可以看作排列问题的运算种数为()A1B2C3D41 12 23 34 4B因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题故选B2沪宁高铁线上
12、有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备的不同的火车票种数为()A15B30C12D361 12 23 34 4B对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每张火车票对应从6个不同元素(大站)中取出2个不同元素(起点站和终点站)的一种排列，故不同的火车票有6530(种)1 12 23 34 43从1，2，3中任取两个数字组成不同的两位数有_个1 12 23 34 46可组成的两位数为12，21，13，31，23，32，共有6个646个人走进只有3把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有_种不同的坐法1 12 23 34 4120坐在椅子上的3个人是走进屋子的6个人中的任意3个人，若把人看成元素，将3把不同的椅子当成不同的位置，则原问题抽象为从6个元素中取3个元素占据3个不同的位置，显然是从6个元素中任取3个元素的排列问题，从而不同的坐法共有654120(种)120回顾本节知识，自主完成以下问题：1如何理解排列的定义？提示无重复性，有顺序性2两个排列相同的充要条件是什么？提示元素完全相同且元素的排列顺序相同
