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1、本科毕业论文（设计）题 目 矩阵在数学中的应用 _ 学 院 机电与信息工程学院 专 业 数学与应用数学 年 级 2011级 学 号 2011117055 姓 名 吕海霞 指 导 教 师 薛海波 成 绩 优 2014 年 11 月 20 日目 录摘要IAbstract.II1 前言12 有关概念及重要结论12.1矩阵的概念12.2矩阵的秩22.3矩阵的逆32.4 用矩阵表示二次型33 矩阵的应用63.1矩阵的高次幂63.1.1 矩阵的幂63.1.2矩阵高次幂的求法73.2 解线性方程组133.2.1线性方程组的有解判定定理133.2.2 线性方程组一般形式的运用143.3 解矩阵方程163.4
2、矩阵对角化方法193.4.1 讨论对于有个特征单根的阶方阵193.4.2 讨论对于有特征重根的阶方阵21结论23致谢24参考文献24 矩阵及应用杨灿（重庆三峡学院数学与统计学院数学与应用数学专业2010级 重庆万州 404100）摘要: 矩阵理论既是学习经典数学的基础,又是一门很有实用价值的数学理论.随着科学技术的发展,这一理论已成为现代各科技领域处理大量数据的有效工具.本文就是利用矩阵的基本理论,把矩阵作为计算工具,对实际问题如方程组的解、矩阵的幂、二次型进行了较为系统的研究并简化了一些计算.关键词: 矩阵;矩阵的幂;线性方程组Matrix and Its ApplicationYANG C
3、an(Grade 2010, Mathematics and Applied Mathematics, College of Mathematics and statistics, Chongqing Three Gorges University, Wan Zhou, Chongqing 404100 )Abstract: Matrix theory is not only the foundation of learning classical mathematics,but also is a very useful mathematical theory.With the develo
4、pment of science and technology,this theory has become the effective tool for modern technology in the field of large amounts of data.This article is on the undamental theory of matrix,the matrix as a calculation tool,the practical problems such as the solution of the equations,the power of matrix,t
5、he two type are systematically studied and some simplified calculation.Keywords:Matrix; The power of matrix; Linear equationI2014届数学与应用数学专业毕业设计（论文）1 前言矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的主要研究对象之一,也是数学研究和应用的一个重要工具.“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语.而实际上,矩阵在它的课题诞生之前就已经发展的很好了.18世纪中期,数学家们开始研究二次曲线和二次曲面的方程简
6、化问题,即二次型的化简.在这一问题的研究中,数学家们得到了与后来的矩阵理论密切相关的许多概念和结论.1748年,瑞士数学家欧拉(LEuler,17071783)在将三个变数的二次型化为标准形时,隐含地给出了特征方程的概念.1773年,法国数学家拉格朗日(JLLagrange,17361813)在讨论齐次多项式时引入了线性变换.1801年德国数学家高斯(CFGauss,1777一1855)在算术研究中,将欧拉与拉格朗日的二次型理论进行了系统的推广,给出了两个线性变换的复合,而这个复合的新变换其系数矩阵是原来两个变换的系数矩阵的乘积.另外,高斯还从拉格朗日的工作中抽象出了型的等价概念,在研究两个互
7、逆变换的过程中孕育了两个矩阵的互逆概念.在线性方程组的讨论中,我们看到,线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上,并且解线性方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除了线性方程组之外,还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念,并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究,甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题,归结成矩阵问题以后却是相同的.这使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念,因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象,也是处理高等数学很多问题的有力工具.矩阵的秩是一个基本的概念,也是矩阵最重要的数量特征之一,它在初等变换下是一个
8、不变量矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念,无论是在线性代数中,还是在解析几何中,甚至在概率论中,都有不可忽略的作用矩阵方幂在高等代数题解、矩阵稳定性讨论及预测、控制等方面有广泛的应用,它的求解原理贯穿于代数教学过程的始终,可以用到矩阵各方面的知识.其计算量往往较大,但方法适当,可大大简化其计算难度.本文将给出六种求矩阵方幂地方法.矩阵方程是矩阵运算的一部分,这里我们主要讨论如何求解矩阵方程的问题.掌握简单的矩阵方程的求法,对于求解复杂的矩阵方程有很大帮助.2 有关概念及重要结论2.1矩阵的概念为了便于叙述并考虑以后的应用,我们引进矩阵的概念.由个数排列而成的行（横的）列（纵的）的表称为一
9、个第 1 页 共 24 页2014届数学与应用数学（师范类）专业毕业设计（论文）矩阵.定义1 把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵, 称为的转置矩阵, 记作(或). 即若则. 2.2矩阵的秩 定义2 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩;所谓矩阵的列秩就是指矩阵的列向量组的秩. 引理1 如果齐次方程组的系数矩阵的行秩,那么它有非零解.定理1 矩阵的行秩与列秩相等.定理2 矩阵的行列式为零的充分必要条件是的秩小于.推论1 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵的行列式等于零.第 23 页 共 24页2014届数学与应用数学专业毕业（论文） 2.3矩阵的逆我们知道,阶单位矩阵单位性质
10、,即对于任意阶方阵都有,是否存在阶方阵使得呢？即是否与数域中数一样的性质:.为此,我们引进逆矩阵的概念. 定义1 阶方阵称为可逆的,如果有阶方阵,使得. （2.3.1）这里是级单位矩阵.并且称为的一个逆矩阵.定义2 如果矩阵适合（2.3.1）,那么就称为的逆矩阵,记为.定理1 阶矩阵可逆的充分必要条件是非退化,此时,的逆矩阵为. 定理2 给出了矩阵可逆时逆矩阵的计算公式.下面给出可逆矩阵的一些性质: 性质1 如果阶方阵可逆,那么,并且. 性质2 如果矩阵同级且都可逆,那么与也可逆,且. 性质3 如果阶方阵可逆,那么也可逆,并且. 性质4 如果阶方阵可逆,那么也可逆,并且. 性质5 如果阶方阵可
11、逆,那么,有. 定理3 是一个矩阵,如果是可逆矩阵,是可逆矩阵,那么 . 推论1 在定3的假设下有,成立.2.4 二次型及矩阵表示定义1 设是一个数域,一个系数在数域中的的二次齐次多项式 . （2.4.1）定义2 记,把元二次型（2.4.1）,写成对称形式. （2.4.2）这样,系数可以构成一个对称矩阵, （2.4.3）称（2.4.3）为元二次型（1）的矩阵.令,则有, =, =, = , （2.4.4）这就是二次型的矩阵表示.对确定的元二次型（2.4.1）,就确定唯一的对称矩阵（2.4.3）通过（2.4.4）联系起来,即. 因此,一个元二次型（2.4.1）对应一个阶对称矩阵.每个二次型都有一
12、个对称矩阵与之对应;反之,每个对称矩阵也有一个二次型与之对应.二次型与它的矩阵是相互唯一确定的.一般地,关于二次型的矩阵有下列结果.定理1 设是矩阵,则是一个二次型,它的矩阵为.2.5 特征值与特征向量 维线性变换空间与矩阵空间是同构关系,可以通过矩阵来研究线性变换的性质,我们希望找到一组基使得线性变换在这组基下的矩阵的形式最简单.这个问题的一个简单设想是是否可以是对角形式？即.这个设想可以归结为:对线性空间的线性变换,.这就是线性变换的特征值与特征向量.定义1 设是数域上线性空间的一个线性变换,如果对于数域中一数,存在一个非零向量,使得.那么称为的是一个特征值,而称为的属于特征值的一个特征向
13、量.定义2 设是数域上一级矩阵, 是一个文字. 矩阵的行列式,称为的特征多项式, 这是数域上的一个次多项式.上面的分析说明, 如果是线性变换的特征值, 那么一定是矩阵的特征多项式的一个根; 反过来, 如果是矩阵的特征多项式在数域中的一个根, 即, 那么齐次线性方程组 (2.5.1) 就有非零解. 这时,如果是方程组(2.5.1)的一个非零解, 那么非零解向量.满足（2.5.1）式, 即是线性变换的一个特征值, 就是属于特征值的一个特征向量定理1 设是数域上维线性空间的一个变换,则是的一个特征值当且仅当是的特征多项式的一个根.定理2 设是线性空间的线性变换的一个特征值,则集合 (2.5.2)构成的一个子空间.在
