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1、圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：(1) 中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两点为 (x , y )， 11(x , y ) ，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意 22斜率不存在的请款讨论)，消去四个参数。x 2y 2如：(1)+厂=1(a b 0)与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有a2b2 0 0L + 蛊 k = 0。a 2 b2x 2y 2(2) 厂=1(a 0,b 0)与直线丨相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0)则有a2b20 0-人 k = 0a 2 b2(3) y2=2px (p0)
2、与直线 l 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p，即 y0k=p.y2典型例题给定双曲线x2 = 1。过A(2, 1)的直线与双曲线交于两点P 及P，2 1 2求线段P P的中点P的轨迹方程。12(2) 焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点F、F构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭12桥。x2y 2典型例题 设P(x,y)为椭圆 +厂=1上任一点，F (c,0)， F (c,0)为焦点，a 2b 2i2ZPFF =a，ZPF F =0。1 2 2 1(1)求证离心率e =sin(a + P)sin a + sin P(2)求 I PF |3+PF
3、 |3 的最值。12(3) 直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判 别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观 性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。典型例题抛物线方程y2 = p(x + 1) (p 0),直线x + y = t与x轴的交点在抛物线准线的右边。(1)求证：直线与抛物线总有两个不同交点(2)设直线与抛物线的交点为A、B,且OA丄OB,求p关于t的函数f(t)的表达式。(4) 圆锥曲线的相关最值(范围)问题圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法和
4、几何法解决。若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函 数,三角函数,均值不等式)求最值。(1),可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不 等式”或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于(2)首 先要把 NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值即：“最值问题，函数思 想”。最值问题的处理思路：1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关 键是由方程求 x、 y 的范围；2、数形结合，用化曲为直的转化思想
5、；3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例题已知抛物线y2=2px(p0),过M (a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB| W2p(1)求a的取值范围；(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求ANAB面积的最大值。（5）求曲线的方程问题1曲线的形状已知这类问题一般可用待定系数法解决。典型例题已知直线L过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A （-1, 0）和 点 B（0， 8）关于 L 的对称点都在 C 上，求直线 L 和抛物线 C 的方程。2曲线的形状未知求轨迹方程典型例题已知直
6、角坐标平面上点Q（2，0）和圆C： X2+y2=1,动点M到圆C的切线长与| MQ|的比等于常数九求动点 M 的轨迹方程，并说明它是什么曲线。（6）存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线 求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来 解决）x 2 y 2典型例题已知椭圆C的方程+计=1，试确定m的取值范围，使得对于直线y = 4x + m，椭圆C上有不同两点关于直线对称7）两线段垂直问题y y圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用kk =厶 2 = -1来处理或用向量的坐标12 x x12运算来处理。典
7、型例题已知直线l的斜率为k，且过点P（-2,0），抛物线C: y2 = 4（x +1），直线l与抛物线 C 有两个不同的交点（如图）。（1）求k的取值范围；（2）直线l的倾斜角0为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。四、解题的技巧方面：在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用 几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。 下面举例说明：（1）充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代 数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。典型例题 设直
8、线3x + 4y + m = 0与圆x2 + y2 + x 2y = 0相交于P、Q两点，0为坐标原点，若OP丄OQ,求m的值。（2）充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中 点等问题中常常用到。典型例题 已知中心在原点0,焦点在y轴上的椭圆与直线y = X +1相交于p、Q两点，且OP丄OQ，IPQ-斗0，求此椭圆方程。（3）充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。典型例题 求经过两已知圆C : x2 + y2 4x + 2y = 0和C : x2 + y2 2y 4 = 0的12交点
9、，且圆心在直线l : 2x + 4y-1 = 0上的圆的方程。(4) 充分利用椭圆的参数方程椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题这 也是我们常说的三角代换法。x2 y 2典型例题P为椭圆 = 1上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四a 2 b2边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。(5) 线段长的几种简便计算方法 充分利用现成结果，减少运算过程一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程y = kx + b代入圆锥曲线方程中，得到型如ax2 + bx + c = 0的方程，方程的两根设为x，x，判别式为,AB( 则IABI
10、 = v1 + k2lx -x I =、：1 + k2，若直接用结论，能减少配方、开方等运算A BI a I过程。例 求直线x - y +1 = 0被椭圆x2 + 4y2 = 16所截得的线段AB的长。 结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线 的定义，可回避复杂运算。x 2 y 2例 F、F是椭圆弋+ = = 1的两个焦点，AB是经过F的弦，若IABI = 8，求值 122591IF AI+IF BI22 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离例 点A (3, 2)为定点，点F是抛物线y2 = 4x的焦点，点
11、P在抛物线y2 = 4x上移动，若IPAI+IPFI取得最小值，求点P的坐标。圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备：1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式 一般式。（2）与直线相关的重要内容倾斜角与斜率k = tan a, a e 0,兀）点到直线的距离Ax + By + C0+ B 2 夹 角 公 式 ：tanak - kt i-1 + kk2 13）弦长公式直线y = kx + b上两点A(x ,y ),B(x ,y )间的距离:1 1 2 2AB = J1 + k 2 x x1 2=、,：(1+ k2)(x + x )2 4x x 或 |AB =
12、4）两条直线的位置关系l 丄 l o kk =-1 l l o k = k 且b 丰 b1 2 1 2 1 2 1 2 1 22、圆锥曲线方程及性质（1）、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）标准方程：匚+ L = 1(m 0, n 0且m丰n) mn距离式方程：( x + c)2 + y 2 +(x c)2 + y 2 = 2a参数方程：x = a cos9, y = b sin 0（2）、双曲线的方程的形式有两种距离式方程：标准方程：乂 + 21 = i(m n 0 ,以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点 A(x , y ), B( x , y ) ，将这两点代入曲线方1 1 2 2程得到两个式子，然后-，整体消元,若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点， 则可以利用三点 A、B、F 共线解决之。若有向量的关系，则寻 找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线 为y kx + b，就意味着k存在。
