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1、高中数学可视化实验教学：一元二次不等式的解法【实验内容】1、 在具体案例的求解中，认识降次化归法在求解二次不等式中的应用，即应用积的符号法则二次不等式化归为一次不等式组，认识二次不等式的两种基本模式（两根之外、两根之间）；2、 从函数图像的角度解释二次不等式的基本模式，构建基本解题模式，并熟练应用求解二次不等式；3、 综合应用两种方法，初步解决分式不等式、高次不等式的求解问题。【活动指南】从初中阶段的一次不等式（组）的解法，到求解二次不等式，及至分式不等式和高次不等式的求解，是一个思维水平层级要求明显提升的过程。有两个基本的求解策略：一是降次化归，即将高次降为二次，二次降为一次，当然其中的关键
2、在于积商符号法则的应用和根的确定；二是另起炉灶，应用图像直观法居，高临下思考构建不等式的求解模型。当然其中的重点在于二次不等式的求解，活动一立足于降次化归，活动二则是图像直观法。活动三则是从二次不等式延伸出去，应用两种求解策略，解决更高难度的分式不等式和高次不等式的求解。【预备知识】1、 不等式的基本性质：；。2、 一次不等式组的解法：时，3、 函数零点的概念：函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，f(x)的零点就是方程f(x)=0的解。【活动过程】活动一、降次化归法求解二次不等式图8-3图8-1图8-2步骤1、点击进入CAS运算系统，点击打开工具箱菜单，选择“CAS”
3、“求解”“求解”（如图8-1），输入若干不等式，得到结果如图8-2，可以发现不等式的解为“”，而不等式不等式的解则为“”；步骤2、打开工具箱菜单，选择“CAS”“代数”“因子”，将前面不等式所涉及二次三项式因式分解，可以发现，你能否从中找到求解二次不等式的一般规律呢？【实验结论】1、2、 依据积的符号法则，可将一元二次不等式转化为一元一次不等式组来解。3、 设为方程的两根，则的解为（两根之外），的解为（两根之间）设计意图本活动设计实则上是一种“翻转课堂”：在步骤1中，让学生先得到一组不等式的解，从而构建基本模式（暂不涉及的情形，所以不等式的解无外乎“两根之外”或“两根之间”两种模型）；然后再追
4、问“为什么”，而计算机自带的因式分解功能则能有效降低学生的思维难度，从而可将二次不等式等价降次为一元一次不等式组，再通过具体案例的剖析完善解不等式模型的构建。【操作小贴士】图8-6HP Prime支持符号计算图8-4图8-5，其设置方式是按键进入CAS设置界面，勾选“精确”、“使用”选项（如图8-4）；图8-5是未勾选“精确”选项的计算结果，比对图8-3，你能看出其中的异同吗？活动二、图像直观法求解二次不等式步骤1、进入“函数”模块，在符号视图中输入、三个函数解析式；在绘图视图中，点击菜单命令“分析”“根”，调取函数图象与x轴交点坐标，观察图象并比对图8-2，思考相应不等式解集的几何解释方式。
5、步骤2、进入“高级绘图”，符号视图中输入图8-7所示解析式，绘图视图中点击菜单命令“定义”，得到图8-8界面，可修改逻辑联结词“AND”后面的解析式，考察或时所对应的图象，再次琢磨不等式的几何解释。图8-7图8-8【实验结论】1、 图象法是求解不等式的一种重要方法。其中x轴上方对应着，于是函数在x轴上方的图象对应着的解集；类似的，x轴下方的函数图象对应着的解集。2、 应用图象法解不等式时，关键是找根（图象与x轴的交点）。3、 当时，解形如或的一元二次不等式，一般可分为三步：（1）确定对应方程的解；（2）画出对应函数的图像；（3）由图像得出不等式的解集。设计意图活动一是代数法解不等式，其基本思路
6、是借助积的符号法则，将二次不等式降次转化为一次不等式组来求解；活动二涉及几何法解不等式，利用函数图象来构建不等式解的模式；两种解法相得益彰、互为补充，在解决一类问题的同时也提供了一问题解决的有效路径。图8-9在操作活动中，要注意与活动一得出的结论随时随地相比对，寻求解释的过程也是新知识“同化”与“顺应”的过程。【操作小贴士】HP Prime各模块间的对象可以互相调用，如图8-7中的F1(X)就是“高级绘图”模块调用了“函数”模块中的解析式（即），其使用方式有两种：一是按键直接输入，如（F），需要注意是大写字母；二是点击调取变量工具箱，选取命令“应用程序”“函数”“F1”后实现，后面一样还需按键
7、；差别仅在于后者比前者更精准，调用的是“函数”模块中的解析式。这样的函数解析式，CAS系统中也可调用，读者不妨一试（调用的前提当然是“函数”模块中F1得有定义），需要特别注意的是CAS系统中变量输入必须是小写字母（如果输入的是大写字母，则表示已经赋值的一个量，代表着一个具体的数）。类似地，逻辑联结词除了直接输入外，也可调取工具箱菜单，在“目录”菜单中检索输入。活动三、综合法求解分式、高次不等式步骤1、进入CAS系统，输入并求解不等式、（如图8-10）；进一步的，对不等式所涉解析式进行因式分解（如图8-11），你是否能据此思考并提炼不解式的求解策略？图8-12图8-10图8-11步骤2、进入“函
8、数”模块，输入不等式相应函数解析式，在绘图视图点击“求根”命令，观察图象并比对步骤1中不等式的求解结果，寻求不等式的几何解释。【实验结论】1、 分式不等式可结合积商的符号法则，转化为整式不等式求解，如。2、 如果把函数图像与x轴的交点形象地看成“针眼”，函数的图像看成“线”，那么求解不等式（或）的方法，可形象地称之为“穿针引线法”。设计意图活动一活动二中，我们以求解二次不等式为任务驱动，研究了不等式的两种解法，即降次转化法和图像直观法，但这两种解法不应只限于求解二次不等式，将其应用范畴拓宽到分式不等式和高次不等式，其目的也是加深对这两种解法的认识，实际上，前面提及的“穿针引线法”其实质仍属于图像直观法的范畴，当然要想绘制高次函数的图像还需要借助于导数的知识。【实验感悟】所谓“横看成岭侧成峰”，同样的问题不同的视角，我们得出的结论可能大相径庭，却也可能异曲同工。本例中，我们从两个维度思考不等式的解法，降次化归法体现不同层次、类型不等式的内在横向联系，而图像直观法则将不等式、函数、方程这三种不同领域的数学对象联系到了一起，可谓“会当凌绝顶，一览从山小”。
