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1、选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库（二）双曲线性质典型例题例1 求与双曲线共渐近线且过点的双曲线方程及离心率解法一：双曲线的渐近线方程为：（1）设所求双曲线方程为， ， 在双曲线上 由，得方程组无解（2）设双曲线方程为， ， 在双曲线上， 由得， 所求双曲线方程为：且离心率解法二：设与双曲线共渐近线的双曲线方程为：点在双曲线上，所求双曲线方程为：，即 说明：（1）不难证明与双曲线共渐近线的双曲线方程一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程例2 求以曲线和的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程解：，
2、或，渐近线方程为当焦点在轴上时，由且，得所求双曲线方程为当焦点在轴上时，由，且，得所求双曲线方程为说明：（1）“定量”与“定位”是求双曲线标准方程的两个过程，解题过程中应准确把握（2）为避免上述的“定位”讨论，我们可以用有相同渐近线的双曲线系方程去解，请读者自行完成例3 已知双曲线的渐近线方程为，两条准线间的距离为，求双曲线标准方程解：双曲线渐近线方程为，设双曲线方程为（1）若，则，准线方程为：，（2）若，则，准线方程为：， ， 所求双曲线方程为：或例4 中心在原点，一个焦点为的双曲线，其实轴长与虚轴长之比为，求双曲线标准方程解：设双曲线的标准方程为，则，解得为所求双曲线的标准方程例5求中心在
3、原点，对称轴为坐标轴经过点且离心率为的双曲线标准方程解：设所求双曲线方程为：，则，所求双曲线方程为说明：（1）离心率是双曲线的等轴双曲线的充要条件，证明如下：设等轴双曲线，则，反之，如果一个双曲线的离心率，双曲线是等轴双曲线（2）还可以证明等轴双曲线的其他性质：两条渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项等例6已知点，在双曲线上求一点，使的值最小解：，设点到与焦点相应准线的距离为则，至此，将问题转化成在双曲线上求一点，使到定点的距离与到准线距离和最小即到定点的距离与准线距离和最小为直线垂直于准线时，解之得，点例7已知：是双曲线上一点求：点到双曲线两焦点、的
4、距离解：如图，设点到相应焦点、的准线的距离为、当点在双曲线的右支上时，且有，当点在双曲线的左支上时，且有，说明：以上结论称为双曲线的焦点半径公式，它在解题过程中发挥着很大的优越性，例如：在双曲线的一支上有三个不同点、与焦点的距离成等差数列，求的值解：直接利用焦半径公式，得：，即例9如图所示，已知梯形中，点满足，双曲线过、三点，且以、为焦点，当时，求双曲线离心率的取值范围分析一：依题意，建立恰当的坐标系，并通过、的坐标及双曲线的方程求解解法一：以直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，则轴，因双曲线过点、，且以、为焦点，由双曲线的对称性可知、关于轴对称设、，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高
5、由，即，得，设双曲线方程为，则离心率为由点、在双曲线上，将、的坐标和，代入双曲线方程得由得，将代入式中，整理得：，又，分析二：建立直线方程，再与双曲线方程联立，借助一元二次方程根与系数关系解题解法二：前面部分同解法一可求得直线方程为，将其代入双曲线方程中，得，又、为上述二次方程的两根， 又在双曲线上， ， 将代入中，得：， ， 以下同解法一分析三：借助焦半径公式， ，由焦半径公式，得： ，将代入，得：，例10 设双曲线的半焦距为，直线过、两点，且原点到直线的距离为，求双曲线的离心率分析：由两点式得直线的方程，再由双曲线中、的关系及原点到直线的距离建立等式，解出的值解：由过两点，得的方程为由点到
6、的距离为，得将代入，平方后整理，得令，则解得或而，有故或因，故，所以应舍去故所求离心率说明：此题易得出错误答案：或其原因是未注意到题设条件，从而离心率而，故应舍去例11 在双曲线的一支上有三个点、与焦点的距离成等差(1)求； (2)求证线段的垂直平分线经过某个定点，并求出定点的坐标解：(1)依题意，得在双曲线上支上，故、三点都在双曲线上支上，且上准线的方程为、成等差数列，根据双曲线的第二定义，得，故(2)由点、在双曲线上，故，两式相减，得的垂直平分线的斜率为又的中点坐标为，故的垂直平分线方程为 当时，故的垂直平分线过定点例12根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程 (1)过点，离心率(2)已知
7、双曲线的右准线为，右焦点为，离心率(3)、是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且，又离心率为解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在轴上，也可能在轴上，分别讨论如下如双曲线的实轴在轴上，设为所求 由，得由点在双曲线上，得， 又，由、得，若双曲线的实轴在轴上，设为所求 同理有，解之，得（不合，舍去）双曲线的实轴只能在轴上，所求双曲线方程为(2)设双曲线上任意一点，因为双曲线右准线，右焦点，离心率，根据双曲线的第二定义，有，化简，得，即所求双曲线方程为(3)设双曲线方程为，因，而，由双曲线的定义，得由余弦，得，又，得，所求双曲线的方程为说明：对于题(2)，误解一：由，得，则故方程为误解二：由焦点坐标
8、，知又，得故所求双曲线方程为误解三：由，得，则故所求双曲线方程为例13已知双曲线的离心率，左、右焦点分别为、，左准线为，能否在双曲线的左支上找到一点，使得是到的距离与的等比中项？解：设在左半支上存在点，使，由双曲线的第二定义，知，即再由双曲线的第一定义，得 ， 由、，解得，在中，有， ， 利用，从式得解得由，得，与已知矛盾符合条件的点不存在说明： 是双曲线左支上存在点，使成立的充要条件例14直线与双曲线的左支相交于，两点，设过点和中点的直线在轴上的截距为，求的取值范围解：由方程组消去得设、，中点为直线与双曲线的左支相交于，两点，方程有两个不大于-1的不等实根令，则解得，直线的方程是令，得，或说
9、明：(1)涉及直线与双曲线相交弦有关的参数范围的讨论问题，是必不可少的条件(2)关于直线与双曲线的某一支的相交问题，不但要考虑，同时要考虑方程根的取值范围，以下以双曲线为例作简单说明 若直线与双曲线右支相交于不同两点，则其充要条件是若直线与双曲线左支相交于不同两点，则其充要条件是若直线与双曲线不同两支交于两点，则其充要条件是例15已知，是过点的两条互相垂直的直线，且，与双曲线各有，和，两个交点 (1)求的斜率的取值范围；(2)若，求，的方程； (3)若恰是双曲线的一个顶点，求的值解：(1)依题意，直线，的斜率都存在，设的方程为直线的方程为，且由方程组消去，整理得 ，若，则方程只有一个解，即与双
10、曲线只有一个交点，与题设矛盾故，即直线与双曲线有两个不同交点，由方程组消去，整理得同理，所以，与双曲线各有两个交点，等价于 解得(2)设，；由方程可得，同理，由方程可得 ，代入得，由，得将式和式代入得解得当时，；当时，(3)双曲线的顶点为，取时，有，解得，于是将代入方程得 设与双曲线的两个交点，则，则当取时，由双曲线关于轴对称，知说明：(1)直线与曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量(或)得到关于变量(或)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式，则有：直线与双曲线相交于两个点；直线与双曲线相交于一个点；直线与双曲线无交点若得到
11、关于(或)的一元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线(2)直线被双曲线截得的弦长或，其中是直线的斜率，是直线与双曲线的两个交点，的坐标，且，可由韦达定理整体给出例16 已知双曲线的渐近线方程是，求双曲线的离心率解：(1)设双曲线方程为渐近线方程为，又，(2)设双曲线方程为渐近线方程为，离心率或说明：关于双曲线的渐近线，可作如下小结：若知双曲线方程为或，则它们的渐近线方程，即；若知双曲线的两渐近线，先写成一个方程即的形式，再设出双曲线方程；若焦点在轴上，渐近线斜率为虚轴长比实轴长；若焦点在轴上，渐近线斜率为实轴长比虚轴长例17 已知双曲线的两条渐近线过坐标原点，
12、且与以为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点和关于直线对称，设直线过点，斜率为 (1)求双曲线的方程；(2)当时，在双曲线的上支求点，使其与直线的距离为；(3)当时，若双曲线的上支上有且只有一个点到直线的距离为，求斜率的值及点的坐标解：(1)由已知得双曲线的渐近线为，因而为等轴双曲线，其中一个顶点为，所以双曲线的方程为(2)若是双曲线的上支上到直线的距离为的点，则，解得，故点坐标为(3)因为当时，双曲线的上支在直线的上方，所以点在直线的上方设直线与直线平行，两线间的距离为，直线在直线的上方，双曲线的上支上有且只有一个点到直线的距离为，等价于直线与双曲线的上支有且只有一个公共点设的方程是，由
13、上的点到的距离为，可知，解得，其中舍去由方程及，消去得，令，解得，当时，解得，点的坐标为当时，解得，点的坐标为说明：若已知双曲线渐近线方程为，则共渐近线的双曲线方程为，其中为不等于零的常数，另外要善于把问题转化，(3)便是把原题转化为与双曲线上支有且只有一个公共点问题例18 如右图，给出定点和直线，是直线上的动点，的角平分线交于，求点的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与值的关系解：依题意，记，则直线与的方程分别为和，设点坐标为，则有，由平分，知点到、距离相等，根据点到直线的距离公式，得：依题设，点在直线上，故有由，得，将式代入式，得整理得：，若，则若，则，点的坐标为，满足上式综上，得点的轨迹方程为：(1)当时，轨迹方程化为 此时，方程表示抛物线弧段(2)当时，轨迹方程为，其中当时，方程表示椭圆弧段，当时，方程表示双曲线一支的弧段例19 已知双曲线的实轴在直线上，由点
