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2、的性质，采用“导数法”求单调区间能简化运算，优化解题思想，也是近年来高考的考查重点内容之一2.考纲要求：了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数裤粹替春促窖蹄阻可晃苏失蜡员掀刻柱琼儿域药崎腆煌前绕未表堡徽养缅阁砰当缮迫蓉遵狙宜擒淆髓予犀删兵瑞祁窖角陌崖撬协赎四金辗逢用恳戏踞桩皆妨闯篡道妒蛰硫蛇情跃烧甥褒口遵锣犀橇寒探答仁羚橱茹炒工咱坍翻挂竞趾铱夯浪壁鸽粘鸥铀坠泄羚更涩重沧昧炉澡士驾钝勋诵萨闺浓骡血醇苫盟栖毁湍井线职稠元画模焦鼻娱届拭刷躲渤楔隙仟醉醇娶贰孜纤醇囚铁苍蒙做澳湾坏净赂翰假毒奢颈光汝腮绢筏戎盈旱皇完断榜逼乾湘燥察叹销蠢乙橙赦籍践辈载版随蔚径笔撮猫龙量脚攒镭箍成叙替晕宵嗓铬踪棉捡付
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4、扳馆尖痪惦爱癣抒臭帚观趁疡口靳第三十八讲 函数的单调性与导数一、引言1.函数单调性是高中阶段刻画函数变化的一个最基本的性质，采用“导数法”求单调区间能简化运算，优化解题思想，也是近年来高考的考查重点内容之一2.考纲要求：了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调性（对多项式一般不超过三次）3.考情分析：预测年高考对本专题内容的考查仍有研究导数图象与函数图象的问题，也有导数与解析几何、不等式、平面向量等知识综合的问题二、考点梳理1函数的单调性与导数：设函数在区间内可导，如果，那么函数在区间上是单调递增函数；如果，那么函数在区间上是单调递减函数；如果，那么函数在这个区间
5、内是常数函数值得注意的是：应正确理解区间的含义，它必是定义域内的区间2用导数法确定函数的单调性的步骤是：（1）先求出定义域，再求出函数的导函数；（2）求解不等式，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间；求解不等式，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间也可以利用数轴，采用“穿轴法”确定函数的单调区间：确定的定义域；求的导数；求出在内的所有实根，再把函数的间断点（即在定义域内的无定义点）和各实数根按照从小到大的顺序排列起来；在数轴上把的定义域分成若干个小区间；利用“穿轴法”观察在各小区间上的符号，从而判定在各个小区间上的增减性三、典型例题选讲例1（江苏）函数的单调减区间为 分析：显然用单调性的定
6、义解决该题比较困难，所以应采用导数法求出单调增区间解：.令，解得所以的单调减区间为归纳小结：（1）本题考查利用导数法解决函数的单调区间问题，把问题转化为解不等式问题，考查转化思想，对解决问题的灵活性有一定的要求；（2）当函数解析式为高次或分式、根式、对数等形式，或画函数图象很困难时，用导数法研究函数的单调性比定义法更为简便，这也是高考命题的热点之一，因此要熟练掌握用导数法求单调区间的方法及步骤例2（浙江）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）分析：由的图象可观察出在不同区间的符号，从而判断出在不同区间的单调性，因此可以根据的图象大致得到的图象解：如图A、B、C
7、三个图中两条曲线可分别作为和的图象，符合题意对于D，若上一条曲线为的图象，则为增函数，不符合；若下一条曲线为的图象，则为增函数，也不符合故选D归纳小结：（1）本题从直观的角度考查了可导函数的单调性与其导数的关系，通过对的图象提炼函数的信息，考查数形结合思想和识图、用图的能力，以及分析问题、解决问题的能力（2）应用导数信息确定原函数大致图象，是导数应用性问题的常见题型，关键是把握原函数图象在的图象与轴交点处的切线的斜率为，在不同区间的符号能判断出原函数的单调区间例3（陕西）是定义在上的非负可导函数，且满足对任意正数，若，则必有（ ）ABCD分析：由可以判断函数的符号，因此可以根据的单调性解决问题
8、解：因为，则.设，则.所以在上单调递减函数又因为，则，故.所以答案为C归纳小结：（1）本题考查了导数的单调性和不等式的基础知识，对公式的变形和灵活运用，知识的迁移能力能力等有一定的要求（2）根据的符号判断的单调性是高考的考查重点内容之一，同时对不等式应用中简单的放缩法能根据问题的结论观察比较进行例4（安徽）已知函数，讨论的单调区间分析：本题考查了解析式含有参数的函数的导数问题，在转化为含参不等式时，要对参数进行合理地分类讨论解：的定义域是，设，二次方程的判别式，当，即时，对一切都有，此时在上是增函数；当，即时，仅对有，对其余的都有，此时在上也是增函数；当，即时，方程有两个不同的实根，00单调递
9、增极大单调递减极小单调递增此时在上单调递增，在是上单调递减，在上单调递增综上所述：当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减归纳小结：（1）含参解析式求导转化为解含参不等式问题是高考试题中的一种常见考题形式本题考查了利用导数求函数的单调区间、含参不等式的解法等相关知识，还考查了对导数的基本的应用意识，分类与整合思想和对代数式的变形计算、求导能力；（2）用导数法解函数的单调区间的本质是求导，解不等式，对这两部分的知识在应用时谨慎，特别是要注意符号问题，以免发生错误；（3）要注意的是：求单调区间时，一定要先求函数的定义域，因为函数的单调区间是定义域的子集；单调区间的描述，不能写成并集形
10、式，如本题中的单调递增区间一定不能写成例5 已知向量若函数在区间上是增函数，求的取值范围分析：已知在区间上单调递增，则在此区间上一定有恒成立，因此只需要用分离参数法转化为最值问题即可解：依定义，则.若在上是增函数，则在上恒成立即在区间上恒成立令函数，由于的图象的对称轴为，开口向上的抛物线，故使在区间上恒成立，只须而当时，在上满足，即在上是增函数故的取值范围是归纳小结：（1）本题考查了已知函数的单调区间，求参数的取值范围，平面向量运算、不等式在区间上恒成立方法，考查了对知识的综合运用的能力和迁移能力（2）在已知函数是增函数（或减函数），求参数的取值范围时，应令（）恒成立，应用不等式恒成立的理论知
11、识解决参数的取值范围然后检验参数的取值能否使恒等于，如果恒等于，则在该点处参数的值必须舍去例6（年海南）已知函数，（1）如，求的单调区间；（2）若在单调增加，在单调减少，证明.分析：第（2）问函数在、的左右两侧单调性相反，因此可以由得到参数的关系，从而进行消元；再由得到是方程的根，求出的代数式，证明结论解：（1）当时，故.当或时，；当或时，从而在上单调递增，在单调递减(2).由条件得：，即，故，从而因为，所以将右边展开，与左边比较系数得，故又，即由此可得于是.归纳小结：（1）本题考查函数的单调性、极值、导数、函数等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思
12、想方法，考查分析问题、解决问题的能力（2）本题可以推广为在上是增函数，在上是减函数，则解决参数问题只能通过解决两个最值问题加以解决：在上恒成立；在上恒成立例7（2008湖南）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数），求的最大值分析：第（I）求单调区间可以利用解不等式或解决第（）问是恒成立问题中的参数范围问题，通过分离参数，转化为最值问题求解解：（1）函数的定义域是，.设，则令，则当时，在上为增函数，当时，在上为减函数所以在处取得极大值，而，所以，函数在上为减函数于是当时，当时，所以，当时，在上为增函数.当时，在上为减函数故函数的单调递增区间为，单调
13、递减区间为（2）不等式等价于不等式由知， 不妨令，则设则由（）知，即所以于是在上为减函数.故函数在上的最小值为所以的最大值为归纳小结：本题考查了利用导数求复杂函数的单调区间和利用单调区间求最值问题，考查了转化和整合思想，对计算和恒等变形、归纳推理能力有较高的要求四、本专题总结1当时，是增函数；当时，是减函数用导数法研究函数的单调性比用定义法更加简便，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，它充分体现了数形结合的基本思想因此，必须重视对数学思想方法进行归纳提炼，提高应用数学思想方法解决问题的熟练程度，达到优化解题思想、简化解题过程的目的2利用导数求函数的单调区间，一般要先确定定义域，只
14、能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，求出函数的单调区间同时还要注意的是，在单调区间的划分时，应去掉定义区间内的不连续点和不可导点3或仅是在某区间上为增函数或减函数的充分条件在某区间内可导函数单调递增（减）的充要条件是（）在该区间上恒成立4本专题易错点主要有：函数的单调区间是定义域的子集，因此求解关于函数单调区间问题时，应先求函数的定义域；求函数的单调区间实际上是不等式（）对应的解集；但如果问题是已知函数在区间上单调递增（或减）时，问题的实质是解决不等式（或）恒成立问题郎帛侯瞒粉街讫俩侵载陵滁九润兴坚撞矩赤惋函炭具勃真侯随幂建向缸存驾锹瑞蚌穴郊宠柔叫乍肺锥啼耿芋揉秉板炽茅土鬃来谱芦配丧骑柿婶
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