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1、考纲要求:1.导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)不等式恒成立问题；(3)存在型不等式成立问题2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)基础知识回顾:1、求函数的极值（1）设函数在及其附近有定义，如果的值比附近所有各点的值都大（小），则称是函数的一个极大（小）值。（2）求函数的极值的一般步骤先求定义域,再求导，再解方程（注意和求交集），最后列表确定极值。一般地，函数在点连续时，
2、如果附近左侧0，右侧0，那么是极大值。一般地，函数在点连续时，如果附近左侧0，那么是极小值。（3）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。（5）一般地，连续函数在点处有极值是=0的充分非必要条件。（6）求函数的极值一定要列表。2、用导数求函数的最值（1）设是定义在闭区间上的函数，在内有导数，可以这样求最值：求出函数在内的可能极值点（即方程在内的根）；比较函数值，与，其中最
3、大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）如果是开区间，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值。应用举例类型一、利用导数解决不等式恒成立问题【例1】【江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷（六）】已知函数（），（）求函数的最大值；（）当时，求证：对任意时，不等式恒成立.【答案】（）（）证明见解析.【详解】（）因为，令解得当时，即在区间为增函数；当时，即在区间为减函数所以（），由第（1）问可知又因为，存在，使得，即当时，即在为减函数；当时，即在为增函数 所以-又因为，即带入中得令，当时，即在为减函数，【点睛】本题考查了导函数在函数中的综合应用，利用导数判断函数的
4、单调性，并证明不等式，综合性强，对思维能力要求高，属于高考中的压轴题，属于难题。类型二、利用导数解决存在型不等式成立问题【例2】【广东省深圳市2018届高考模拟测试二】已知向量，（为常数， 是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴垂直,（）求的值及的单调区间；（）已知函数(为正实数),若对于任意，总存在， 使得，求实数的取值范围【答案】（），的增区间为，减区间为（）由，由的增区间为，减区间为（II）对于任意，总存在， 使得， 由（I）知，当时，取得最大值. 对于，其对称轴为 当时， ，从而 当时， ，从而综上可知： 类型三、利用导数证明不等式【例3】【江西省南昌市2017-2018学年度高三第
5、二轮复习测试卷（八）】已知函数，斜率为的直线过点，其中.（）若函数的图象恒在直线的上方（点除外），求的值；（）证明：.【答案】（）（）证明见解析【解析】【分析】（1）构造函数，求导得由于，所以最小值必为单调性说明其它情况不满足题意，（2）当时，再利用等差数列求和公式得结果.（）证明：由（）当时， 所以，即，令累加得：.即.【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图
6、像确定条件.类型四、利用导数研究方程的根或函数的零点【例4】【湖北省武汉市2018届高中毕业生四月调研测试】已知函数，.（1）当时，求的单调区间；（2）若有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）记t=lnx+x，通过讨论a的范围，结合函数的单调性以及函数的零点的个数判断a的范围即可在时，在上单增，且，故无零点；在时，在上单增，又，故在上只有一个零点；在时，由可知在时有唯一的一个极小值.若，无零点；若，只有一个零点；若时，而，由于在时为减函数，可知：时，.从而，在和上各有一个零点.综上讨论
7、可知：时有两个零点，即所求的取值范围是.【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解方法、规律归纳:1.利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)a恒成立，只需f(x)mina即可；f(x)a恒成立，只需f(x)maxa即可.
8、(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.2.涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.实战演练:1【江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷（四）】已知函数（）若时，求函数的最大值；（）若时，恒有，求的取值范围.【答案】（1）0；（2）.令 ，由知 在单调递减 即在上单调递减，由洛必达法则知： 恒成
9、立即.【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.2【2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（二）】已知函数，. (1)若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；(2)证明:方程有且只有一个实数根.【答案】(1) (2) 见解析 (2)令,即,即 ，也就是证明函数的图象与直线有且只有一个交点.由，得 记 ,所以 令 ，当时, ,在区间内单调递减;当时, ,在区间内单调递增，所以当时, 有有极小值 ，故，因此在区间内单调递增
10、，又因为当,且时, ,当时, ,因此函数的图象与直线有且只有一个交点,故方程有且只有一个实数根.【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解3【广东省广州市仲元中学2018届高三七校联合体考前冲刺交流考试】已知函数 ，其中（1）设是的导函数，讨论的单调性；（2）证明：存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解【答案】（1）增，减（0，1）（2）见解析【详解】（1）
11、解：由已知，函数的定义域为， 所以 当时，单调递减 当时，单调递增 （2）证明：由 ，解得 令 则 于是，存在，使得 令 由（）知：，即 当时，有 由（）知，在区间上单调递增 故：当时， 当时， 又当时，所以，当时，. 综上述，存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解 4【江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷】已知函数，斜率为的直线过点，其中.（）若函数的图象恒在直线的上方（点除外），求的值；（）证明：.【答案】（1）；（2）见解析.【详解】（）直线的方程为， 令，有，当 单调增，（不合题意）；当令得所以在单调增，（不合题意）；当令得，有在单调减，在单调增，所以在处取得最小值（
12、合题意）；当令得所以在单调减，（不合题意）；综上可得（）证明：由（）当时， 所以，即， 累加得：.即.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.5【四川省成都市双流中学2017-2018学年考前模拟试卷】已知函数f（x）=alnxex；（1）讨论f（x）的极值点的个数；（2）若a=
13、2，求证：f（x）0【答案】（1）当a0时，f（x）无极值点；当a0时，函数y=f（x）有一个极大值点，无极小值点；(2)见解析 6【海南省海南中学2018届高三第五次月考】己知函数 .讨论函数的单调区间；设，当时，若对任意的都有，求实数的取值范围；(3)求证：.【答案】（1）见解析（2）（3）见解析【解析】【分析】求出函数的导函数，分类讨论，可得函数的单调区间 时可得，对任意的都有恒成立，可得时，分离参数，利用函数的单调性，即可求出答案当时，取，则，再利用叠加法即可证明结论（2）当时，由（1）知时对任意的都有恒成立即，恒成立即，恒成立即，恒成立令，则，即在上递增，故所以（3）当时，由（1）知
14、，单调递增，则时，即取，则故.上式叠加得：即【点睛】本题考查了导数知识的综合应用，在求函数的单调区间时一定要对参量进行分类讨论；含有任意性的不等式问题时将其转化为最值问题，最后一问的不等式证明需要运用赋值法，然后进行叠加，本题还是有一定难度。7【北京市通州区2018届下学期高三年级三模考试】已知函数的定义域是 ，且有极值点（）求实数的取值范围；（）求证：方程恰有一个实根【答案】（1）（2）见解析【详解】（）解：由的定义域是，知得，由得，故当 时，函数在上单调递增，无极值点所以实数的取值范围为 （）证明：由（）知函数的两个极值点为，+极大值极小值极小值下面证明： 记 ，所以在上是单调递增函数所以当时，即由知，这说明在上无解又，且在上单调递增，所以在上恰有一解.综上所述
