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1、平面向量及其加减运算（基础）知识讲解【学习目标】1. 了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义.2. 理解向量的几何表示，掌握向量加、减运算，并理解其几何意义.3. 理解两个向量共线的含义.【要点梳理】要点一、平面向量1. 有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段. 有向线段的方向是从一点到另一点的指向， 这时线段的两个端点有顺序，前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头 表示它的方向.要点诠释：（1）“有向线段AB”符号标记为AB，且AB表示点B相对于点A的位置差别.（2）用两个字母标记有向线段时，起点字母必须写在终点字母的前面2. 平面向量的定义及表示（1）向量: 既有
2、大小又有方向的量叫做向量.其中向量的大小叫做向量的模（或向量的长 度） .要点诠释： 向量的两要素：向量的大小、向量的方向. 数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 而向量有方向，有大小，具有双重性，不能比较大小. 向量与有向线段的区别：（a）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量 就是相等的向量；（b）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是 不同的有向线段.（2）向量的表示方法: 小写英文字母表示法: 如 a,b,c, 等. 几何表示法:用一条有向线段表示向量，如AB,CD等.（3）向量的分类
3、：一 一固定向量：有大小、方向、作用点的向量；自由向量：只有大小、方向，没有作用点的向量.要点诠释：我们学习的主要是自由向量.3. 特殊的向量零向量:长度为零的向量叫零向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量.相等向量:长度相等且方向相同的向量.互为相反向量: 长度相等且方向相反的向量.平行向量:方向相同或相反的非零向量，叫平行向量（平行向量又称为共线向量）. 规定:0 与任一向量共线.要点诠释：（1）零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写的不同.（2）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行， 要区别于在同一直线上的线段的位置关系.（3）零向量、单
4、位向量的定义都只是限制了大小.要点二、平面向量的加法运算1. 定义：求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法.2. 运算法则：（1）三角形法则：一般来说，求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一 个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和 向量.这样的规定叫做向量的加法的三角形法则.如图：AB + BC = AC（2）多边形法则：一般地，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和 向量是以第一个聞的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，这样的规定叫做几 个向量相加的多边形法则.（3）平行四边形法则：如果a、b是两个不平行的向量，
5、那么求它们和向量时，可以在平面 内任取一点为公共起点，作两个向量分别与a、b相等；再以这两个向量为邻边作平行四边 形；然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就 是a、b和的向量.如图：AB + AD = AC要点诠释：1. 两个向量的和是一个向量，规定a + 0二0 + a二a .2. 可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点3. “向量平移”（自由向量）使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向 量连加，即得到几个向量相加的多边形法则.4. I a I -1 b IV a + b IV a I +1 b I.探讨该式中等号成
6、立的条件，可以解决许多相关的问题3. 运算律：(1) 交换律：a + b = b + a ；(2) 结合律：(a 七b) 士c 三a + (b + c)要点三、向量的减法运算1定义：已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法2. 运算法则：在平面内任取一点，以这点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的 终点为起点、被减向量的终点为终点的向量，这样求两个向量的差向量的规定叫做向量减法 的三角形的法则.要点诠释：(1)减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即:AB- AD = AB + DA = DB，从而用加法法则来解决减法问题.(2)向量的加法、减法的结
7、果仍然是向量，规定a -a二0.(3) 与AB长度相等、方向相反的向量，叫做AB的相反向量，即AB =-BA.典型例题】类型一、向量的基本概念1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由(1)向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上.2) 单位向量都相等3) 任一向量与它的相反向量不相等 【思路点拨】对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从反面进行考 虑，并且要注意这两方面的结合【答案与解析】解:不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、莊在同一直线上 不正确. 单位向量模均相等且为1，但方向不确定. 不正确. 零向量的相反
8、向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.【总结升华】本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征 及相互关系必须把握好.举一反三：【变式】下列命题正确的是 ()A. a与b共线，b与c共线，则a与c也共线.B. 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 C. 向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D. 有相同起点的两个非零向量不平行 【答案】C.类型二、向量的加法运算（如图），求作a + b + c + d .2.已知互不平行的向量a、b、c、d【思路点拨】一般地,几个向量相加,可把这几个向量顺次首尾相接,那么它们的和向量是以第一个向量的起点为起点,最
9、后一个向量的终点为终点的向量.【答案与解析】解：如图，在平面内任取一点O,顺次作向量OA = a， AB = b， BC = c， CD = d ；再以O为起点，D终点作向量OD，则:1 1 2 3 4=OAn 一1 nn举一反三：【变式】如图，已知梯形IBCD中ABDC,页E在ABXECAD.在图中指出下列几个向量的 和向量: AB + BC + CE + AD 答案】(1哼一(2)AC类型三、向量的减法运算3. 如图，已知向量a,b,c,d,求作向量a-b,c-d.答案与解析】【总结升华】两个向量相减，表示两个向量起点的字母必须放在一起，差向量的终点指向被 减向量的终点.类型四、向量加减综
10、合运算4. 如图所示，C ABCD的两条对角线相交于点M ,且AB a, AD b,用 a, b 表示 MA, MB, MC, MD.思路点拨】 利用三角形法则和数乘运算，用向量法讨论几何问 题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是 a,b ，由它可以“生”成AC,DB,【答案与解析】解：在_： ABCD中AC AB + AD a + b, DB AB AD a b,11 11 11 MA AC a b, MB DB a b22-22-2 2MC 丄AC丄a + 丄b, - MDMB-DB a + 丄b.2 2 2 2 2 2【总结升华】用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的
11、基本功，除利用向量加、减法 外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角 形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算求解，既 充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形、平行四边形法则，运用 减法三角形法则，充分利用三角形的中位线，相似三角形对应边成比例的平面几何的性质， 把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.举一反三：【变式1】设e和e是两个不共线的非零向量，若向量AB = 3e -2e , EC = -2e + 4e ,1 2 1 2 12CD = -2匕-4e，试证明：A、C、D三点共线.一 一_一 一_1 2【答案】证明：AC = AB + BC = 3e 2e + (2e + 4e ) = e + 2e ,1 2 1 2 1 2CA = e 2e ,又 CD = 2e 4e ,1 2 1 2HD RCAT _ 一 i 一 i 一CD与CA共线，一 一一A、D三点共线.
