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1、10数学建模示例-郭洪奇第一章 数学建模初步数学模型是架于数学与实际问题之间的桥梁数学建模1.用数学的语言对实际问题作一个近似描述，以便于用数学方法研究、解决实际问题。2.对于一个现实对象，为了特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 建模特征1. 实践性：有实际背景，有针对性。接受实践的检验。2. 应用性：注意实际问题的要求。强调模型的实用价值。3. 综合性：数学与其他学科知识的综合。建模要点1明确研究问题的目标，尽力从实际问题中归纳出所采用的假设和解题线索;2用假设简化问题，在实际与数学简化之间选择恰当的平衡点, 这是建模成功与否的关键, 体现
2、了建模工作的想象力和创造力;3进行正确的推理，在无法进行严格的数学推导时, 代之以对问题的分析, 归纳、类比、猜测、尝试, 事后检验；4尽量使用实际资料检验数学结果，并用恰当的学科语言表达数学结果。5在建模中，数学不仅仅是工具,要从所作的数学推导和所得到的数学结论中指出所包含的更一般的、更深刻的内在规律。6. 数学建模绝不仅以应用数学解决一个实际问题为目标，更希望是揭示基本自然规律，产生新的数学思想和方法。建模步骤 建模特点（1）数学建模不一定有唯一正确的答案.数学建模的结果无所谓“对”与“错”，但却有优与劣的区别，评价一个模型优劣的唯一标准是实践检验.（2）数学建模没有统一的方法.对同一个问
3、题，各人因其特长和偏好等方面的差别，所采取的方法可以不同使用近代数学方法建立的模型不一定就比采用初等数学方法建立的模型好，因为我们建模的目的是为了解决实际问题.（3）模型的逼真性与可行性.尽管人们总是希望模型尽可能逼近研究对象，但是一个非常逼真的模型在数学上通常是难于处理的，因而达不到通过建模解决实际问题的目的，即实用上不可行.因此，在建模时不必追求模型的完美无缺而只要符合实际问题的基本要求即可.（4）模型的渐进性.稍复杂一些的实际问题的建模通常不可能一次成功，往往要反复几次建模过程，包括由简到繁，也包括由繁到简，以期获得越来越满意的模型，这也符合人们认识问题的规律性.（5）模型的可转移性.模
4、型是对现实对象进行抽象化和理想化的产物，常常不为对象的所属领域所独有，完全可能转移到另外的领域中去，这个特点也是使用类比法建模的基础建模参赛1.开卷形式的通讯比赛，可以使用任意图书资料和互联网，自由的收集资料、调查研究。2.由三名学生组成一队，各参赛队任选一竞赛题。在三、四天时间内，团结合作、奋力攻关，完成一篇数学建模全过程的论文。3.没有事先设定的标准答案，多名专家从以下几个方面来综合评定：（1）问题分析及假设的合理性； （2）模型的正确性和创造性； （3）运算结果的正确性； （4）结论和讨论的科学性； （5）论文表达的清晰性等。建模论文1、摘要:问题、模型、方法、结果 2、问题重述 3、模
5、型假设与记号 4、分析与建立模型 5、模型求解 6、模型检验 7、模型推广 8、参考文献 9、附录建模参考书：1.姜启源,谢金星,叶俊数学模型(第三版).高等教育出版社.2. 陈义华数学模型重庆大学出版社.3.沈继红等数学建模哈尔滨工程大学出版社4. 数学模型基础王树禾著，中国科大出版社5. 数学建模入门徐全智，杨晋浩，电子科大出版社建模网站：http:/ http:/ ，分别以为中心，0.5为半径圆弧，将三角形分为四个部分（如图1.1），则四部分中任一部分内两点距离都小于0.5，由抽屉原理知道，在三角形内最多能找四个点，使彼此间距离大于0.5，且确实可找到如及三角形中心四个点。 CA1 GD
6、DPMBAC1图1.1 图1.2 图1.3 例2：如何建立联接A、B、C三地点的最短线路。分析：如图1.2设三地点为三角形 ，三角形的费马点P到A、B、C的线路为最短。证明：分别以三边向外作三个正三角形。(1)费马点对边的张角为120度: CC1B和AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,CBC1=B+60度=ABA1, CC1B和AA1B是全等三角形,得到PCB=PA1B.同理BB1C和AA1C是全等三角形,可得CBP=CA1P, 由PA1B+CA1P=60度，得PCB+CBP=60度,所以CPB=120度.同理,APB=120度，APC=120度. (2)PA+PB+PC=AA1, 将BP
7、C以点B为旋转中心旋转60度与BDA1重合，连结PD，则PDB为等边三角形，所以BPD=60度,又BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，又CPB=A1DB=120度，PDB=60度，PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。(3)PA+PB+PC最短: 如图1.3，在ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将BMC以点B为旋转中心旋转60度与BGA1重合，连结AM、GM、A1G(则GMB为正)，则AA11，由图中可知： 即 设 则 则上式可简记成： ，汇合点p必位于此圆上。由护卫舰的路线方程 和航母的路线方程， 即可求
8、出P点的坐标和2 的值，本模型虽简单，但分析极清晰且易于实际应用。 图1.7 图1.8例：任意拿出黑白两种颜色的棋子共8个，排成如图1.7所示的圆圈，然后在两颗颜色相同的棋子中间放一颗黑色棋子，在两颜色不同的棋子中间放一颗白色棋子，放完后撤掉原来所放的棋子。再重复以上的过程，问这样重复进行下去各棋子的颜色会怎样变化.分析：规则是两同色的棋子中间加黑色棋子，两异色的棋子中间加白色棋子，即黑黑得黑，白白得黑，黑白得白，与有理数符号规则类似。方法：用+1表尔黑色，用l表示白色，开始摆的八颗棋子记为a1，a2，.，a8，并且a k+1或-1，k1，2，8，下一次在al与a2中间摆的棋子的颜色由a1和a
9、2是同色还是异色而定。类似的a k a k+1正好给出了所放棋子的颜色。规则：黑黑得黑，白白得黑，黑白得白。引入记号，则 (1) (1)()= ；(1) (1)()= (1) (1)。各次颜色的确定为：可见最多经过8次变换后，各个数都变成了+1，这意味着所有棋子都是黑色，且以后重复上述过程，颜色也就不再变化了。例：椅子摆放在起伏不平的地面上，能不能让椅子在经适当调整后椅子的四个脚同时着地，总能放稳椅子。假设：如图1.8，1.椅子的四条腿等长，四脚连线呈平面正方形ABCD。2.地面的起伏是连续变化的。3 地面相对平坦，使得椅子在任何位置至少有三个脚同时着地。 参数，变量: 1. 如何描述“椅子的
10、四个脚同时着地”？记 xA ， xB、 xC、 xD分别为脚 A，B, C, D与地面的距离。则 当xA =xB= xC=xD =0时，椅子的四个脚同时着地。2.如何用数学的语言描述让椅子的四脚着地？方椅的对称中心O位于平面坐标原点, 椅子围绕中心转动。 记q为 AC与X轴的夹角, 则可用q表示椅子移动的位置。0q1，于是椅子转动时，4个椅脚与地面的距离是q的函数。由中心对称性知，只需两个距离函数表示椅子的状态。令 f(q)= xA(q ) + xC(q ), g(q)= xB(q )+ xD(q )。如果在位置 q椅子四脚落地, 则有 f(q*) = g(q*) = 0. 根据假设 2 知 f(q) 和 g(q)是连续函数，根据假设 3 有 f(q) g(q)0，根据假设1有 f(q1)=g(q0) 和 g(q1)=f(q0), 其中 q1=q0+ 900。模型：已知f(q) 和 g(q)是连续函数，f(q) g(q)0，若 f(q0) = 0, g(q0) 0, 则存在q*使得f(q*) = g(q*)=0。证明：因为 f(q1)=g(q0)0, g(q1)=f(q0)=0, 令 h(q) = f(q) - g(q), 则 h(q) 连续且 h(q0) 0. 所以，根据连续函数的介值定理知，存在q*, q0q * q1, 使得 f
