《2018年高考数学命题角度4.3空间位置关系证明与二面角求解大题狂练理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年高考数学命题角度4.3空间位置关系证明与二面角求解大题狂练理（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、命题角度4.3：空间位置关系证明与二面角求解1.如图所示，已知三棱柱中， ， ， （1）求证： ；（2）若， ，求二面角的余弦值【答案】(1)见解析；（2）.【解析】试题分析: （1）证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的寻找与论证往往需要结合平几知识，如利用等腰三角形性质得底边上中线垂直底面得线线垂直，（2）一般利用空间向量数量积求二面角大小，先根据条件确定恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角余弦值，最后根据法向量夹角与二面角关系确定二面角的余弦值.（2）为等边三角形， ，在中， ， ， 为中点， ，又，
2、平面以为原点， ， ， 方向为， ， 轴的正向，建立如图所示的坐标系， ， ， ， ，则，则， ， ，则平面的一个法向量，设为平面的法向量，则令，点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.2.如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形， ，且与均为正三角形， 为的重心.（1）求证： 平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的正切值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）要证线面平行，则需在平面中找一线与之平行即可，所以连接并延长交于，连接.由梯形且
3、，知，又为的重心， ，故从而的证明（2）求解二面角时则通过建立坐标系求两面的法向量，再利用向量的数量积公式求解即可试题解析： 解：(1)连接并延长交于，连接.由梯形且，知，又为的重心， ，故.又平面平面平面.(2) 平面平面与均为正三角形，延长交的中点，连接平面，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， ，设，可得，设平面的一个法向量为，由，令，得，同理可得平面的一个法向量，所以平面与平面所成锐二面角的正切值为.点睛：证线面平行首先要明确和熟悉其判定定理，在面内找一线与一直线平行即可，求面面角时则通常经过建立直角坐标系，求出两面的法向量，再通过向量夹角公式计算即可3.如图，在三棱柱中，平面平面，
4、 ， ， ， ， 为的中点（1）求证： 平面；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）见解析;（2）【解析】试题分析：证明线面垂直，只需寻求线线垂直，利用题目提供的面面垂直，可以得到线面垂直，进而说明线线垂直；求二面角可采用建立空间直角坐标系，借助法向量求解，本题需要设，根据条件求出，再利用法向量求出二面角的余弦.试题解析：（1）证明：， 为的中点，又平面平面，平面平面， 平面，平面，又平面，又， ，面则由余弦定理得，设与交于点，则， ，而 ，则于是，即，或（舍）容易求得： ，而故，由面面，则面，过作于，连，则为二面角的平面角，由平面几何知识易得， 方法二：以点为原点， 为轴，过点与平面垂直的直线
5、为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设， ，则， ， ， ， 由，得，则， ，于是， ，不妨设平面的法向量，则，故二面角的余弦值为【点睛】证明线面垂直，只需寻求线线垂直，利用题目提供的面面垂直，可以得到线面垂直，进而说明线线垂直；求二面角的方法有两种，传统方法为“作、证、求”，用空间向量，借助法向量更容易一些.4.如图，在梯形中， ， ，四边形为矩形，且平面， .（1）求证： 平面；（2）点在线段（含端点）上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）由， 可得.由可得.从而平面（2）分别以直线， ， 为轴， 轴
6、， 轴的如图所示建立空间直角坐标系，令 (). 平面的一个法向量=(1, , ), =(1,0,0)是平面的一个法向量. ,当时， 有最小值.试题解析： (I)在梯形中，设，又,，. ， ，而， . (II)由(I)可建立分别以直线， ， 为轴， 轴， 轴的如图所示建立空间直角坐标系，设，令 (),则 (0，0，0)， (，0，0)， (0，1，0)， (，0，1)，=(-，1，0)， =( ，-1，1)， 设为平面的一个法向量，由得取,则=(1, , ), =(1,0,0)是平面的一个法向量, ,当时， 有最小值，点与点重合时，平面与平面所成二面角最大，此时二面角的余弦值为.5.如图，在四棱
7、锥中，底面为正方形， 平面，已知为线段的中点.（I）求证： 平面；（II）求平面与平面所成锐二面角的余弦角.【答案】（1）见解析；（2）. (II)因为平面平面，所以.因为为正方形，所以.因为平面，所以平面.因为平面，所以.所以以为原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则.因为平面平面,所以.因为，所以.因为四边形为正方形，所以，所以.由四边形为正方形，得,所以.设平面的一个法向量为，又知，由令，得，所以.设平面的一个法向量为，又知,由令，得，所以.设平面与平面所成的锐二面角为，又，则.所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向
8、量求二面角的大小，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.6.如图，在三棱台中，平面，分别为，的中点（1）求证：平面；（2）若且，求二面角的大小【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）利用中位线，有，所以平面平面，所以平面；（2）易得，两两垂直，以此建立空间直角坐标系，分别计算平面的法向量，利用法向量夹角来计算二面角的余弦值为，所以二
9、面角为.试题解析：（2）解：由平面，可得平面，而，则，所以，两两垂直，故以点为坐标原点，所在的直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系设，则，则平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则即取，则，易得二面角为锐角，所以二面角的大小为考点：空间向量与立体几何.7. 如图，三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，且，四棱锥的体积为2，点在平面内的正投影为，且在上点是线段上，且（1）证明：直线平面；（2）求二面角的余弦值【答案】(1)详见解析；（2）【解析】试题分析：（1）通过构造辅助线FH，证明为平行四边形，即借助线线平行证明线面平行；（2）借助底面四边形的对角线互相垂直，建立空间直角坐标，利用向量方法求
10、解二面角.（）解析：因为四棱锥的体积为2，即，所以又，所以即点是靠近点的四等分点，过点作交于点，所以，又，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以，所以直线平面.（） 设的交点为，所在直线为轴，所在直线为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设平面的法向量为，则， ，则，即为所求.点睛：本题主要考查直线与平面平行的判定定理、二面角、空间向量的应用，以三棱柱为载体，考查借助空间想象能力、逻辑推证、转化能力、运算能力线面平行的判定方法一是线面平行的判定定理，二是证面面平行，其解题的关键是在面内找到一线与面外一线平行，或由线面平行导出面面平行，性质的运用一般要利用辅助平面；求二面角通
11、常通过建立空间直角坐标系利用空间夹角公式求解8.如图，在正方形中，点，分别是，的中点，将分别沿，折起，使两点重合于.（）求证：平面；（）求二面角的余弦值.【答案】（）详见解析（）【解析】试题分析：（）证明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明往往利用线面垂直判定与性质定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的寻找与论证往往需结合平几知识进行：连接交于，则根据等腰三角形性质得，（）求二面角，一般利用空间向量进行求解，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系求解试题解
12、析：（）证明：连接交于，连接.在正方形中，点是中点，点是中点，所以，所以，所以在等腰中，是的中点，且，因此在等腰中，从而，又，所以平面，即平面.6分所以，于是，在翻折后的几何体中，为二面角的平面角，在正方形中，解得，所以，在中，由余弦定理得，所以，二面角的余弦值为.12分设为平面的一个法向量，由得，令，得，又由题知是平面的一个法向量，所以.所以，二面角的余弦值为.12分考点：空间面面垂直的判定与性质、空间面面夹角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向
13、量；第四，破“应用公式关”.9.如图，四棱锥中， 平面， ， ， ， 是棱的中点.（）若，求证： 平面；（）求的值，使二面角的平面角最小.【答案】（）见解析; （）.【解析】试题分析：()利用题意证得， .平面.()建立空间直角坐标系，由题意可得，要使最小，则最大，得.试题解析：当时， .又平面，.平面.又平面，.又， 是棱的中点，.平面.又易知平面的法向量为.设二面角的平面角为，则要使最小，则最大，即，得10.如图，在四棱锥中，四边形为梯形， ，且， 是边长为2的正三角形，顶点在上的射影为点，且， ， .（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析
14、：（1）取的中点为，连接利用直角三角形的性质，可分别求出的值，由勾股定理得可得面，可证平面平面；（2）以所在直线为轴， 所在直线为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出两个半平面的法向量，利用法向量的夹角与二面角的夹角的关系，可求二面角的余弦值（）由（）知， ， ，且所以 面，且面以所在直线为轴， 所在直线为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： ， ， ， 设平面， 的法向量分别为，则，则，则， ，所以二面角的余弦值为点睛：若分别为二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足，二面角的平面角的大小是的夹角(或其补角，需根据观察得出结论)在利用向量求空间角时，建立合理的空间直角坐标系，正确写出各点坐标，求出平面的法向量是解题的关键
