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1、离散型随机变量的均值通山一中 阮清波教材分析本节课是普通高中课程标准实验教科书数学选修 232.3.1 离散型随机 变量的均值，学生在前面的学习中已经掌握了分布列的求法，并且在选修 3 中学 习了样本平均数的求法，为离散型随机变量的均值的引入打下了基础，此时提出 离散型随机变量的均值的概念已是水到渠成，而离散型随机变量的均值又为后面 离散型随机变量的方差的学习奠定基础，本节课在教材中起到承上启下的作用。 教材通过权数和加权平均引入离散型随机变量的均值的概念是教材中的一个亮 点，其目的是帮助学生更好的理解均值的意义，教学时要把握好这一点。学情分析本节 课是 一节概念 课，关 键要 让学生理 解概
2、念，学生在必修 3 中， 已熟知了一组数据的平均数的求法及意义，学生要理解离散型随机变量的均值并 不是很难，教材以形象的混合糖果的定价问题的解释为例，引出了离散型随机变 量的均值的定义，其中涉及到了“加权平均”，学生对加权平均数接触不多，故 在教学中应注意讲解。对于服从二项分布的随机变量的均值计算公式的推导，学 生在前面已经掌握了公式： kCk=nCk-1 ，但是要自己推导公式有一定的难度， n n 1教学中要注意引导学生分析通项。教学目标知识与技能：1理解离散型随机变量的均值的概念；2.掌握满足线性关系的离散型随机变量的均值之间的关系，即：Y=aX+b 则E（Y）=aE（X）+b；掌握满足两
3、点分布、二项分布的离散型随机 变量的均值的求法。过程与方法：进一步体会从特殊到一般的归纳思想，类比思想；培养学生 合情推理能力。情感、态度与价值观：培养学生的数学应用意识，并感悟数学与生活的和谐之美。教学重点理解离散型随机变量的均值的意义，掌握满足两点分布、二项分布的离散型随机变量的均值计算公式，并能应用它们解决一些实际问题。教学难点离散型随机变量的均值的概念的理解，满足二项分布的离散型随机变量的均 值的计算公式的推导。教学过程(一) 创境引入某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg , 24元/kg , 36元/kg的3 种糖果按 3：2：1 的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的
4、质量都相等， 如何对混合糖果定价才合理？(动画演示三堆糖果混合过程)学生：由于每1 kg的混合糖果中，3种糖果的质量分别为-kg、1 kg、1236111kg,所以混合糖果的合理价格为：18X +24X +36X =23 (兀/kg)236老师：权数就是所占比重。如：上式的-、-、-；236加权平均指在计算若干数量的平均数时，按照各个数量在总量中所 具有的重要性不同，对各个数据分别给予不同的权数，从而求平均数的方法。问题 1：如果从上面的混合糖果中任取一颗，它的实际价格为多少(元/ k)？实际价格可能为18元/kg、24元/kg或36元/kg。问题2：如果用X (元/kg)表示这颗糖果的价格，
5、你能写出它的分布列 吗？此时权数对这颗糖而言的实际意义是什么？X 的可能取值有：18、24、36,且 P (X=18) = - P (X=24)=-23P (X=36)=-则X的分布列如下:6X182436P111r236此时权数是随机变量 X 取每种价格的概率。问题3：每千克混合糖果的合理价格用概率可以怎样表示？买上述混合糖果1千克，需付多少元？它的实际价格也是这样吗？18XP (X=18)+24XP (X=24)+36XP (X=36)问题4：如果混合糖果中不同糖果共有n种，价格分别为x、xx，取1 2 n每种价格的权数即概率依次为p、pp，则这种混合糖果的价格可定为多 12n少？价格可定
6、为：x p + x p HH x p1 1 2 2 n n(二) 构建定义一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为Xxx x xnPp1p 2 p. pn则称：E (X) = x p + x p + + x p为随机变量X的均值或数学期1 1 2 2 n n望。它反应了离散型随机变量取值的平均水平。(三) 简单应用例1：某射手射击所得环数E的分布列如下:g678910P0.080.090.290.320.22求E ( g )并指出其含义学生解答：E ( g ) =6 X 0.08 + 7 X 0.09 + 8 X 0.29 + 9 X 0.32 + 10 X 0.22=8.51 其表示该射手多
7、次射击的平均水平变式：如果这次射击的环数与奖金挂钩，奖金变量n与射击环数g的关系 如下：n=2g+i。问题1：奖金变量n的均值为多少？给出表格：(学生填表格)n的可能取值有：13、15、17、19、21,其分布列如下g678910n =2 g +11315171921p0.080.090.290.320.22E (n)=13X0.08 + 15X0.09 +17X0.29 + 19X0.32 + 21 X0.22=17.02问题2：通过上面求n的均值，你认为求离散型随机变量的均值的一般步骤是什么？一般步骤：理解变量e的意义，写出e的全部取值；求e取各个 值的概率，写出分布列；根据分布列，由期望
8、的定义求出 E(g).问题3：已知一组数据x的平均数是X，那么另一组数据a x +b的平均 ii数为aX +b，随机变量的均值是否具有相同的性质？(先通过上例验证)你能够 证明吗？结论1： E(aX+b)=aE(X)+b例 2：在 NBA 比赛中，罚球命中 1 次得 1 分，不中得0 分，姚明罚球命中的概率为0.85，那么他罚球一次得分设为X，X的均值是多少？(姚明投篮动 画，球出手后篮球空中停止)学生分析：X服从两点分布，其分布列如下:X10P0.850.15E (X) =1XP (X=1)+OXP (X=0) =0.85结论2：若X服从两点分布，则E (X) =P变式：如果姚明罚球5次，设
9、五次罚球的得分为变量Y,则如何求Y的 均值？师生分析： Y的取值有：0、1、2、3、4、5且 YB(5,0.85)P (Y=k) = C；0-85k0.155-k.Y 的分布列如下：Y012345PCoO.85oO.155C1 0.8510.154C20.8520.153C30.8530.152C40.8540.151C50.8550.15o555555. E(Y)=0X C00.8500.155+1X C1 0.8510.154 + 2 X C20.8520.153 + 5X555C50.8550.1505问题：运算比较复杂，你能够猜想出运算结果吗？(学生讨论)求证：若 XB(n, p)，则
10、 E (X) =np证明：tXB(n, p)则P (X=k) = Ckpkqn-k (q=1-p) (k=0、1、2、n)n.X 的分布列为：X01 k nPCo p0qnnC1 p 1 qn-1n Ck pkqn-kn Cnpnq0nkCk =nC k-1nn-1E ( X ) =0 X Copoqn + 1 X Ci piqn-1 + k Ckpkqn-k + +n n nn Cn pnqo =n Co p1qn-1 + n C1 p2qn-2 + n Ck-1 pkqn-k + + n n-1 n-1 n-1n Cn-1 pnqo =np( Co poqn-1 + C1 p1qn-2 +
11、 Ck-1 pk-1qn-k + + n-1 n-1 n-1 n-1Cn-ipn-1 q0 ) =np(p + q)n-i =npn-1结论 3：若 XB(n, p)，则 E (X) =np练习：设随机变量的分布列为： P(Y=k)= C3k000.25k0.75300-k (k=0、12、300),则 E (Y ) =(四) 归纳小结一个概念：一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为Xxx x xnPpip 2 p. pn则称：E (X) = x p + x p + x p为随机变量X的均值或数学期1122n n望。它反应了离散型随机变量取值的平均水平。三个性质：性质 1： E( aX+ b
12、)=aE( X)+ b性质2：若X服从两点分布，则E(X) =P 性质 3：若 XB(n, p)，则 E (X) =np求离散型随机变量e的期望的一般步骤：理解e的意义，写出e的全 部取值；求e取各个值的概率，写出分布列；根据分布列，由期望的定 义求出E (g ).(五) 作业布置PT 2 、3、464课外思考题:一个布袋内装有 6 个红球和6 个白球，小球的形状、大小完全一样，每 次从袋子中摸出 6 个球，规则为：6个全红，赢得100元， 5红1白，赢得50元 4红2白，赢得20元， 3红3白， 输100元 2红4白，赢得20元， 1红5白，赢得50元6 个全白，赢得 100 元 你动心了吗？
