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1、小波变换学习心得第一章什么是小波变换1 从傅里叶变换到小波变换1.1短时傅里叶变换为了克服傅里叶变换中时域和频域不能兼容的缺点，短时傅里叶变换把一个时间信号变为时间和频率的二维函数，它能够提供信号在某个时间段和某个频率范围的一定信息。这些信息的精度依赖于时间窗的大小。短时傅里叶变换的缺点是对所有的频率成分，所取的时间窗大小相同，然而，对很多信号为了获得更精确的时间或频率信息，需要可变的时间窗。1.2小波变换小波变换提出了变换的时间窗，当需要精确的低频信息时，采用长的时间窗，当需要精确的高频信息时，采用短的时间窗，图1.3给出了时间域信号、傅里叶变换、短时傅里叶变换和小波变换的对比示意图。由图
2、1.3 看出，小波变换用的不是时间 - 频率域。而是时间 - 尺度域， 尺度越大，采用越大的时间窗，尺度越小，采用越短的时间窗，即尺度与频率成反比。1.2连续小波变换小波是一个衰减的波形，它在有限的区域里存在（不为零），且其均值为零。图1.4 是一个Daubechies 小波（ db10）与正弦波的比较。正弦波：随时间无限振动的光滑波形，小波变换：尖锐变化而且是无规则的波形。因此小波能更好的刻画信号的局部特性。在数学上，傅里叶变换的公式为Fft e j t dt连续小波变换（Continue Wavelet Transform）的数学表达式CWTa ,bfta ,bt dt1a,b ta 2t
3、 ba式中，t为小波； a 为尺度因子； b 为平移参数。图1.6 是小波变换的示意图。由图看出，小波变换给出了在各个时刻信号是由哪些尺度的小波构成。小波中的尺度因子的作用是将小波在保持完全相似条件下“拉伸”或者“压缩”， 图 1.7 给吃了尺度因子的“拉伸”和“压缩”作用。小波中的平移参数，是简单地将波形沿时间轴平移。连续小波变换CWTa,b 是参数 a 和 b 的函数。下面的五个步骤是获得CWTa,b 的最简单方法。第一步，选择尺度a 一定的小波，把它与原始信号的开始一段进行比较。第二步，计算CWTa,b ，它表示这段信号与尺度a 小波的相关程度。CWTa,b 越大，二者越相似。这个结果依
4、赖于所选择的小波的形状。（图 1.8 ）第三步，向右移动小波，然后重复第一步和第二步，直到处理完成全部的信号（图1.9 ）第四步，增大小波的尺度因子（拉升），重复第一步到第三步。第五步，对全部尺度因子重复第一步到第四步，得到的CWT 通常用灰度表示。图1.11 是a,b小波变换的灰度图例子。1.3离散小波变换实际计算中不可能对全部尺度因子值和位移参数值计算 CWTa,b 值，加之实际的观测信号都是离散的， 所以信号处理中都是用离散小波变换 （ DWT）。大多数情况下是将尺度因子和位移参数按 2 的幂次进行离散。 最有效的计算方法是 S.Mallat 于 1988 年发展的快速小波算法 （又称塔
5、式算法）。对任一信号， 离散小波变换第一步运算是将信号分为低频部分（称为近似部分）和离散部分（称为细节部分） 。近似部分代表了信号的主要特征。第二步对低频部分再进行相似运算。不过这时尺度因子已改变。依次进行到所需要的尺度。图1.12 给出了一个信号经过第一次运算后获得的近似部分和细节部分。除了连续小波（ CWT）、离散小波（ DWT），还有小波包（ Wavelet Packet ）和多维小波。第二章 预备知识（傅里叶变换）第三章 连续小波变换3.1 引言小波变换采用改变时间 - 频率窗口形状的方法，很好地解决了时间分辨率和频率分辨率的矛盾，在时间域和频率域有很好的局部化性质。对信号中的低频成分
6、，采用宽的时间窗，得到高的频率分辨率；对信号中的高频成分，采用窄的时间窗，得到低的频率分辨率。小波变换的这种自适应特性，使它在工程技术和信号处理方面获得广泛应用。3.2 连续小波变换定义设函数 tL2 R ，满足下述条件t dt 0（3.1 ）R称 t 为基本小波 （ Prototype ），引入尺度因子 （伸缩因子） a 和平移因子 b，a 和 b 满足：a, bR, 且a0将基本小波进行伸缩和平移，得到下列函数族1a ,b ta 21tba（3.2 ）称 a,b t为分析小波，系数a2 为归一化常数，它使得对所有尺度a 和平移因子b，下式成立222a ,bta ,b tdtt dt （ 3
7、.3 ）RRt2通常取dt =1，（本式的意义就是能量守恒）R函数 ftL2R 的连续小波变换（CWT）的定义为1t b dt （3.4 ）CWTa,bf t a,bt dt a 2 f tRa式中，a,bt为a,b t的共轭函数。若基本小波t满足下述条件：d（3.5 ）R（小波变换中狄更斯条件？）则连续小波变换CWTa,b 存在逆变换，公式为f t C 11t CWTdadb（3.6 ）0a,ba ,baaCd（3.7 ）R称式（ 3.5 ）为容许条件 （ AdmissibilityCondition ），称满足容许条件的小波为容许小波。1关于容许条件（其中， L1 R 应该为 1 阶导数）
8、2关于尺度因子a根据傅里叶变换的尺度定理ttaaa尺度因子 a 越小，a,b t 的波形变窄，a,b的频谱向高频端扩展； a 越大， a ,b的波形越宽，a,bt 的频谱向低频段扩展，从而实现了时间- 频率窗的自适应调节。3小波变换逆变换式的证明傅里叶变换的巴什瓦公式为1ftt dtFdw2连续小波变换的公式为先根据傅里叶变换的时移和共轭性质求出3.3连续小波变换的物理意义连续小波变换的实质是滤波器。滤波器在时间域和频率域中的表示式为g tfh tdGFH式中， h(t) 是系统的脉冲响应； H() 是滤波器的系统函数。与连续小波变换公式1tbCWTa ,ba 2f tdtRa比较，小波变换的
9、脉冲响应为h ta其系统函数为H这种滤波器称为相关滤波器或者镜像滤波器。由逆傅里叶变换公式可得1t (3.10)2a1a 2aCWTa,b1ae jb Fa d2R小波变换的滤波器是恒Q滤波器。3.4连续小波变换的时间- 频率特性1 时频空间设函数 w tL2 R ，且 tw tL2R，定义单窗函数 w t在时频空间里的中心( t 0，0)为t0t w2dt /2twR(3.11)2W20dt / WRt 0 和 0 相当于物体的重心， 在这里可理解为在时间域里信息的重心和频率域里信息的中心，定义单窗函数在时频空间中的时宽 t 和频宽 为1222tw t/wtt0dtR(3.12)11222W/ W20dtR时频空间中以为( t 0，0 ) 中心，以 2 t 和 2 为边长的矩形称为时频窗口（或分辨率窗口） 。为了讨论方便，一般去（t 0， 0） =（ 0， 0），且w =1。时频空间中双窗函数的相似定义如下：t022t w tdt
