《度量空间的可分性与完备性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《度量空间的可分性与完备性（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、度量空间的可分性与完备性在实数空间R中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R 的可分性.同时，实数空间R还具有完备性，即R中任何基本列必收敛于某实数.现在我们 将这些概念推广到一般度量空间.1.3.1度量空间的可分性定义1.3.1设X是度量空间，A,B u X，如果B中任意点x e B的任何邻域0(x,5)内都 含有A的点，则称A在B中稠密.若A u B，通常称A是B的稠密子集.注1: A在B中稠密并不意味着有A u B .例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数 中稠密.无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实 数之间必有无限多个有
2、理数也有无限多个无理数.定理1.3.1设(X, d)是度量空间，下列命题等价：(1) A在B中稠密；(2) Vx e B , x u A，使得 limd(x , x) = 0 ;ns(3) B u A (其中A = A A，, A为A的闭包，A，为A的导集(聚点集)；(4) 任取5 0，有B uU 0(x,5).即由以A中每一点为中心5为半径的开球组成的集合tA覆盖B .证明按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得.定理1.3.2 稠密集的传递性 设X是度量空间，A, B, C u X，若A在B中稠密，B在 C中稠密，则A在C中稠密.证明 由定理知B u A , C u B,而B是包含B的最小闭集，
3、所以B u B u A，于是有 CuA，即A在C中稠密.口注2：利用维尔特拉斯定理可证得定理(Weierstrass多项式逼近定理)闭区间，,b上 的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限.(1)多项式函数集Pa,b在连续函数空间Ca,b中稠密.参考其它资料可知：(2) 连续函数空间Ca,b在有界可测函数集Ba,b中稠密.(3) 有界可测函数集Ba, b在p次幂可积函数空间Lpa, b中稠密(1 p +8 ).利用稠密集的传递性定理1.3.2可得：连续函数空间Ca, b在p次幂可积函数空间Lp a, b中稠密(1 p K时，有irk -x I 0，由rk x(k-8)知，BK
4、e N ,ns 2s n取 K maxKK2, ,K ，当 k K 时，对于i 1,2, ,n.，.都有Id (r , x)X I rk 一 x. |2 0，存在(实系数)多项式ps(t)，使得一， ， 、， 、 d (x, p ) = max I x(t) 一 p (t) l aKb2另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式p(t)c Pa, b,使得一，d (p , p ) = max I p (t) 一 p (t) l 0 a02因此，d(x, p ) d(x, p ) + d(p , p ) ，即 p (t) g O(x,)，在 Ca,b中任意点 x(t)的任意邻域 000内
5、必有Pa,b中的点，按照定义知Pa,b在Ca,b中稠密.口例1.3.3p次幂可积函数空间Lp a, b是可分的证明 由于P a,b在Ca,b中稠密，又知Ca,b在Lpa,b中稠密，便可知可数集P a,b在Lpa,b中稠密.口例1.3.4p次幂可和的数列空间lp是可分的.证明 取E = (r, r , , r ,0, ,0, )I g Q, n g N，显然E等价于8 Qn ,可知E可数， n=1下面证E在Ip中稠密.oVx = (x , x , , x , ) g Ip ,有s I x I p N 时,又因Q在R中稠密，对每个xi x I p 占i2n=N+1(1 i N )，存在r g Q，
6、使得iI x - r I p 4,ii(i = 1,2,3, , N)匕J Vu于是得Z x 一 r I p Ui i 2i=1令x = (,r ,0, ) g E0，则d(x , x) = (SI x - r Ip + S I x Ip) p ( + ) p = vi iii22i=1i=N+1因此E在Ip中稠密. o例1.3.5设X = 0,1，则离散度量空间 (X, d 0 )是不可分的.证明 假设(X,d )是可分的，则必有可列子集x u X在X中稠密.又知X不是可列集， 0n所以存在x* g X , x* a x .取8 = 2，则有O(x*,6) = =x*1 1证明 考虑18中的
7、子集A = x = (x ,x , ,x , )|x = 0或1，则当x,y g A , x壬y时，有 12nnd (x, y) = 1. 因为0,1中每一个实数可用二进制表示，所以A与0,1对应，故A不可列.假设/8可分,即存在一个可列稠密子集A0 ,以A0中每一点为心，以3为半径作开球，所 有这样的开球覆盖18,也覆盖A .因A0可列，而A不可列，则必有某开球内含有A的不同的 点，设x与y是这样的点，此开球中心为x0，于是1、/、1121 = d (x, y) d (x, x ) + d (x , y) 3 + 3 =矛盾，因此18不可分.口1.3.2度量空间的完备性实数空间R中任何基本列
8、(Cauchy列)必收敛.即基本列和收敛列在R中是等价的，现在将这些概念推广到一般的度量空间.定义1.3.3 基本列设x是度量空间X中的一个点列，若对任意 o 0，存在N，当m,nN时，有d(x ,x ) 0，BN e N，从而n , m N时,d (x , x ) d (x , x) + d (x, x ) N时,M = maxd(x , x ), d(x , x ), d(x , x ),1 +1, 那么对任意的 m, n , 均有1 N +12 N +1N N +1d (x , x ) d (x , x ) + d (x , x ) 0,BN e N ,m, n N 时，d (x , x )旦；BN e N，当 k N 时,1n m 222d(x , x) N , k N时，n k N，从而有d (x , x) 0,存在N e N，使得N 1，那么对于m = N + a及n = N +力，其 s中a, b e N，有11a 一 bN + b +1 N + a +1(N + a + 1)(N + b +1)
