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1、导数证明中的常用放缩一、常用结论1、切线放缩 ln(fr+ 1J- inrt n 五I)+2n+hi() A 1 )把换虑丑把骞工輙成c(0Xl)Inr 1x + l1)把工.換成旳(|中y) 斗2（放缩成双撇函数）ln x 1)(1)xI x丿(0 x 1)第一组：对数放缩（放缩成一次函数）Inx x-1, Inx x , ln（1 + x） xln x 1), ln x x (0 x 1),xx11(放缩成二次函数)lnx x2-x , ln(1 + x) x- x2 (-1 x x- x2 (x 0)(放缩成类反比例函数)lnx 1 - , lnx 単(x 1), lnx 単(0 x ,
2、 In(1 + x) (x 0), ln(1 + x) (x x +1, ex x , ex ex ,11(放缩成类反比例函数)ex (x0), ex -1 (x 1 + x + x2 (x 0), ex 1 + x + x2 + x3,226第三组：指对放缩ex 一 ln x (x + 1)-(x -1)= 2第四组：三角函数放缩sin x x 0 )111 一 x2 cos x 0 ：(3) exx+； In工n x 比兰=I ；.T+ljtC 7) ln(x 4-1) (Jt 0)；J(2) .r Injc + I 0)：4) xinxx- I,a 0 ；L6) In x (x 丄)#
3、a I ：2 工 1HJT Jf2 - T ;(ID) Inx 0, x D ：门工Jt0iC13 ) e jc1 + Jt + J, (x 0)；IT(14) -blrljr-jr0：jt(15) 才一厂-2_t0jc G)； 16) t + e_x _r2 中2(工 0): 门)sx + J - ?)ucJt bur - I 2 0 :IS)+xt)； 9) fT + ln(_r + I)- I lx 0 ：C20) a 0, e2 In .v 2a + w In ；a)_ I ；exC22 ) f 工一1 紀王 eT H 工 + I 工一I ;23(23) a lri.v ；In工+ 3
4、1iim + 3F 45X高頊戮宇鱷册究鉛沾余由阴 + :e % - -十益 EC: + + I V(I + E4)LI1 V十 I + I ( ivlxulia + dlq 二匸x I + 疋TvlfY +OEVIp (0匸-ml wIw一 E T人芹三(9) Tbvln)7U(-+T)三(寸)(1人耳)比7|(工疋)三(巴i + kai (o(OAX)Ivlg (L)nis二、经典例题：【母题】(2017全国III)已知函数fx) = ln x+ax2+(2a+l)x.(1) 讨论fx)的单调性；3当a0,故fx)在(0,+)上单调递增.若 a0；当 xw(2，+)时，f (x)0.故fx
5、)在(0，上单调递增，在(一2，+)上单调递减.(2) 证明 由(1)知，当a0；当 x(1,+)时，g (x)0时，g(x)W0.从而当 a0 时，ln(石)+ +1W0,即 fx)w石2.x1子题 1设函数fx) = lnxx+1.证明：当 xW(1,+b)时，ljnXo,xx当x1时，f (x)0, fx)单调递减，当0x0, fx)单调递增，.fx) = lnxx+11 时，ln xx 1，厂11且 ln 一 1，xxx 11 x由得，1市，由得，Tn xT，/，xln7，x 1综上所述，当x1时，1jnx0时，_亟一-三ln x+1.x证明 设 g(x) =fx)(e2)x 1=ex
6、x2(e2)x 1(x0)，贝U g (x)=ex2x(e2),设 m(x)=ex2x一(e一2)(x0)，则 m (x) = ex2，易得g (x)在(0, ln 2)上单调递减，在(ln 2，+)上单调递增，又g (0)=3e0, g (1)=0,由 0ln 21,则 g (ln 2)0；当 xW(x0,1)时，g (x)0时，十一吹1三x.x又由母题可得ln xWx1,即xln x+1,故十一 T三ln x+1.x规律方法利用导数证明不等式fx)g(x)的基本方法(1)若fx)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明fx)ming(x)max.若fx)与g(x)的最值不易求出，可构造函数
7、h(x)=fx)g(x),然后根据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)0.(3) 通过题目中已有的或常用的不等式进行证明(4) 利用赋值法证明与正整数有关的不等式.【跟踪演练】1. (2018全国 I)已知函数fx)=aexInx1.设x=2是fx)的极值点，求a,并求fx)的单调区间;(2)证明：当a1时，fx)三0.e(1)解 fx)的定义域为(0,+呵，f (x)=aex-X.x由题设知，f (2)=0,所以a=2e2- 1 ,11 从而fx)=2e2exlnx-1，f (x)=2e2exx当 0x2 时，f (x)2 时，f (x)0.所以fx)的单调递增区间为(2,+),单调递减
8、区间为(0,2).1ex(2)证明 当a时，fx)三匚一Inx1.ee设 g(x)=ln x1(xW(0,+g),eex 1则 g/ (x)=ex-当 0x1 时，g/ (x)1 时，g/ (x)0.所以x=1是g(x)的最小值点.故当 x0 时，g(x)2g(1)=0.因此，当a三e时，fx)三0.eln x 12. (2020北京市陈经纶中学模拟)已知函数fx)= ax.若1a2,求证：fx)1. x证明fx)的定义域为(0,+),ln x 1为了证明 fx)v 1，即-ax 1,x只需证明 lnx1ax2x, 即 lnx0)，则 m (x)=71,x令 m (x)0,得 0x1 ；令 m
9、 (x)1,所以m(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减，所以 m(x)max=m(1)=0,即 ln xx+1W0,则 ln xWx1.令 n(x)= ax2 2x+ 2,因为 1a2，所以 J=4 8a0 恒成立,即 ax2 2x+ 20,所以 ax2 x+ 1x 1.综上所述, ln xax2 x+ 1 ,即当 1a2 时，f(x) 1.(2017年全国新课标1 理21)已知f (x ) =ae2 x + (a - 2)ex - x.( 1)讨论 f (x) 的单调性；(2)若f (x)有两个零点，求a的取值范围.解析 (1) f (x)=2ae2x +(a-2)ex -1=(2ex +1)(aex -1)若a 0，则f (x)
