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1、真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。市区绿地喷灌喷头的最佳布局数学学院 数学与应用数学（师范）专业 2011级 刘佳指导教师 张新功摘 要：随着市区绿化面积的增多，传统的浇灌方式已被新的喷头喷灌方式所取代，要想真正实现喷头的节水量大，浇灌面积广等优点，那么喷灌喷头的布局则成为一个亟待解决的问题。本文根据实际情况的调查做了合理的假设，建立了一般模型，该模型主要研究了喷头按正三角形和正方形排列的情形，通过用matlab，绘制出了喷头喷灌面积的均匀系数变化图和重叠系数变化曲线，经比较，提出了喷头在不同情形下的合理布局关键词：绿化面积；喷灌强度；合理布局；均匀系数；重叠系数Abstract
2、: With the increasing number of the green land area in the urban, the traditional means of irrigation is substituted for the new one. However , if we want to make the advantages such as: huge amount of irrigation, wide irrigation area and so on come true, the layout of shower nozzle becomes a proble
3、m which must be solved in time. In the modeling ,I consult some relevant materials and make some reasonable assumptions on the basis of recent survey. Then, I make the model. The model is mainly to study the layout of shower nozzle in the way of right triangle and right rectangle. With the mathemati
4、cal software, I draw the diagram of even coefficient and diagram of curves of the shower nozzle. After the comparison, I pose the reasonable layout of shower nozzle in different cases.Key words: the green land area; spray and irrigation; the reasonable layout; even coefficient; mathematical software
5、 随着城市的改造和扩建，市区内的主要街道和公园内的绿化面积也越来越大，传统的人工浇灌的方式已远远不能满足绿化的要求，因此针对于灌溉问题许多文献都进行了讨论1-10。喷灌作为一种新的灌溉方式，省时省力，节水量大，浇灌面积广等诸多优点，使得这种新技术得到广泛的应用4，6，8。针对农业生产中的喷灌 ,基于文献1，3，7研究了喷头的排布问题。根据分析和计算 ,得到如下结论:当喷头采用正方形排布 ,且喷头间距是喷水半径 (即射程 )的1.06279倍时有最均匀的喷灌效果 ,喷灌均匀系数为0.9825123。本模型具有较好的实用价值。但与此同时，喷灌设备工程投资较高，喷灌材料的市场价格昂贵等并没有使得喷灌
6、技术得到普及，这就要求我们对这种新技术的使用给予足够的思考：如何合理布局喷灌系统的重要组成成分喷头，才能真正发挥喷灌喷头的最佳效果。文献2，4，5，6通过数学模型的建立进行论证，怎样的布局才能使成本最小化、利益最大化。1 问题分析1.1 问题重述随着市区的绿化面积的逐渐增多，传统的人工浇灌方式也应被新的喷灌方式所取代.喷灌的诸多优点：节水量大，浇灌面积广，土地的利用率得到有效提高等等使之成为近年来备受关注的一种浇灌方式。因此，喷灌不仅仅在农田，苗圃里有着广泛的应用，而且在城市的绿地浇灌中也有着很好的前景。虽然喷灌好处众多，但是喷灌设备工程投资较高，喷灌材料的价格昂贵，并没有使喷灌的技术得到普及
7、。所以喷灌系统的重要组成部分喷头的正确使用与否，直接影响到喷灌的效果。如果喷头布置过密，则投资增加且浪费水资源，而过稀则会有喷洒不到的地方，使得水量分布不均而影响植物的生长，下面就喷头的作用原理进行了分析，在合理假设的前提下，通过对喷洒水量在灌溉面积上分布的均匀程度和覆盖程度与喷头之间的距离的研究来决定喷头的合理布局。1.2 问题假设 在喷灌过程中，忽略风等自然因素的影响，即不考虑喷头喷出的水雾受风的吹动而发生偏离，从而影响喷洒水量的分布情况。假设喷灌的绿地的土地边长远大于喷头的喷洒半径。将每个喷头看作是一个支点。假设绿地非常平坦，忽略喷洒到地面的水因地势的不平而发生流动。1.3 符号说明 ：
8、两喷头间的水平距离。：喷头的喷射半径。：地面上的一点到某个喷头支架底部的水平距离。：表示喷灌均匀系数，即喷水量在灌溉面积上的均匀分布程度其计算公式为 =1 . （1.1）：单位时间内喷洒到该点处的水的深度，即喷灌强度，其计算公式 为 =，0 （1.2）因为为系数，若将看成1个单位，则公式（1.2）简化为 . （1.3） ：单位时间内喷洒的水量之和，即总喷灌量。 ：平均喷灌强度，即总喷灌量除以喷灌的地表面积。 ：地面上的各点喷灌强度与平均喷灌强度的差的平均值，即喷灌强度的 平均偏差。：喷灌重叠系数，表示单位面积内平均需要的喷头个数。 1.4 问题分析考虑喷头的最佳布局时，除去喷头的工作压力，风，
9、地势等人为不易控制的因素外，最重要的一个决定因素就是喷头的排布要均匀，而减少喷头的喷灌的重叠区域，可减少喷头个数，从而节约成本。现考虑绿地喷灌使用的是固定旋转式喷灌系统，显然，将喷头看作质点后，均匀分布意味着用线段将就近连接得到的图形是一些正多边形，而这些正多边形完全覆盖了整个田地。每个喷头喷出的水洒落在以喷头为圆心的圆形区域上，任何一个喷头周围都可以划分为几个正多边形的内角，对于边数大于等于3的正多边形，其每个内角为，所以2必须是的整数倍，即必须是整数，所以=3，4，6.所以喷头的布局构成的正多边形只有正三角形，正方形，正六边形，即我们只需考虑在这些图形的顶点处安置喷头，从而使得喷洒最均匀。
10、2 与模型的建立及求解2.1 模型的建立和求解2.1.1 正三角形的布局研究 在图2-1（a）中，三角形的顶点即为喷头的布置地点，图中=1，此时地面上所有的点都被重复喷灌，显然不符合实际需要中的减少喷头个数的目的。所以1，另一方面，如图2-1所示，为了植物生长需要但又不能出现灌溉不到的地方，所以，于是的取值范围应满足1，见图2-1中的图形，即为正三角形布局中所研究的对象。 = C A A D O B 1 图2-1 喷头距离与喷灌射程的关系为了研究图2-1中的重叠部分，需引进喷灌重叠系数，它表示单位面积内土地平均需要的喷头个数，其值等于喷头在一个正多边形中的喷洒面积的总和除以单个喷头的最大喷洒面
11、积，再除以正多边形的面积。当喷头位于正三角形的三个顶点上时，由上述图2-1可得喷头按三角形排列的重叠系数为=。仔细观察，图2-1具有完全的对称性，所以我们只需研究图中的阴影部分的平均喷灌强度，即可得整个正三角形的平均喷灌强度。为此，将阴影部分单独拿出来放在直角坐标系中考虑，如图2-2所示： A O B图2-2 1时平均喷灌强度分析图在上图中被两端圆弧分割成了，三个小区域，其中区域只受到喷头的喷灌，由公式（1.3）可知，在该区域上的点处，其喷灌强度为 .对于区域上的点，其同时受到喷头和的喷洒，所以其上每一点的喷灌强度为喷头的作用强度再加上喷头作用强度，即 上每一点的喷灌强度为 . 区域上的点同时
12、受到喷头 ， 的喷洒，其上的喷灌强度等于这三个喷头各自作用产生的喷灌强度之和，即 .喷灌强度反映了每个点处获得水量的大小，所以将 ， 分别在相应区域作二重积分并相加，就可得上的总水量。 仔细观察图2-1后发现，图形具有完全的对称性.在一个正三角形区域上的喷灌量(即图2-1中圆心角为的三个相同扇形区域上喷水量的总和) 刚好和一个喷头在半个圆域上喷出的水量相等.而从图中可知的面积刚好是正三角形面积的，则的总水量为= . （2.1）用总喷灌水量除以的面积，可得上的平均喷灌水量，即平均喷灌强度为. （2.2） 下求上的喷灌强度的平均偏差，即地面上每点处的喷灌强度偏离的平均值，记地面上每点的喷灌强度与平均值的偏差为.所以上所有点偏离之和为二重积分，即.再除以的面积就可得平均偏离强度： . （2.3）将（2.2）和（2.3）代入（1.1）中就可得喷灌均匀系数为 （2.4）再利用matlab进行数值计算，画出
