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1、简单线性规划1、二元一次不等式和二元一次不等式组的定义（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。（3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的 x和y的取值构成有序 实数对（x,y ）,所有这样的有序实数对（x,y ）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解 集。（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序 实数对就可以看成是平面内点的坐标，进而，二元一次不等
2、式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合 。2、二元一次不等式（组）的解集表示的图形二元一次不等式 Ax+By+C 0在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0某一侧所有点组成的 平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线 Ax+By+C=0同一侧的所有点（x, y）,把它的坐标（x, y）代入Ax+By+C, 所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0）,从Axo+Bw+C的正负即可判断 Ax+By+C0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当 Cw 0时，常把原点 作为此特殊点）例如：在平面直角坐
3、标系中，以二元一次不等式x-y6的解为坐标的点都在直线x-y=6的左上方；反过来，直线 x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y6。例1画出不等式x 4y 4表示的平面区域。解：先画直线x 4y 4 （画成虚线）.取原点（0, 0）,代入 x+4y-4, 0+4X 0-4=-40,，原点在x 4y 4表示的平面区域内，不等式x 4y4表示的区域如图:4归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。特殊地,当C 0时，常把原点作为此特殊点。变式1、回出不等式4x 3y 12所表示的平面区域。变式2、画出不等式x 1所表示的平面区域。例2用平面区域表示.不等式组y3
4、X 12的解集。x 2y%*8 皿叫12=口4 斤* *5ITI*因而是各个不等式分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集 的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。解：不等式y 3x 12表示直线y 3x 12右下方的区域，x 2y表示直线x 2y右上方的区域，取两区域重叠的部分， 如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集， 所表示的平面区域的公共部分。变式1、画出下列不等式表示的区域(x y)(x y 1) 0;(2)x y 2xx y 5 0变式3、画出不等式组x y 0 表示的平面区域。x 32xy3
5、 0例3.利用区域求不等式组2x3y6 0的整数解3x5y15 0注意：求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点，它为线性规划中求最优整数解作铺垫。常有两种处理方法，一种是通过打出网络求整点；另一种是本题解答中所采用的，先确定区域内点的横坐标的范围，确定x的所有整数值，再代回原不等式组，得出y的一元一次不等式组，再确定 y的所有整数值，即先固定 x ,再用x制约y。3.线性规划问题例4.某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用 4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得 16个A配件 和12个B配件，按每天8h计算，该厂所
6、有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产 x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组： x 2y 8 4x 16 4y 12 x 0 y 0 （2）画出不等式组所表示的平面区域：如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所 有可能的日生产安排。试想：进一步，若生产一件甲产品获利 2万元，生产一件乙产品获利 3万元，采用哪种生产安排利 润最大？解：设生产甲产品 x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：当x,y满足不等式（1）并且为非负整数时，z的最大值是多少？把z=2x+3y变形为y-x二，这是斜率为
7、2 ,在y轴上的截距为二的直线。3333当z变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因28z此只要给定一个点，（例如（1,2）,就能确定一条直线（y -x -）,这说明，截距一333可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，直线 y 2 x z与不等式组（1）的 33区域的交点满足不等式组（1）,而且当截距z最大时，z取得最大值。因此，问题可以转化3为当直线y 2x z与不等式组（1）确定的平面区域有33公共点时，在区域内找一个点P,使直线经过点P时截距二3最大。由图可以看出，当实现 y -x -金国直线x=4与直线33x+2y-8=0的交点M （4, 2）时
8、，截距乙的值最大，最大值为3一,这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品 4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润143万元。线性规划的有关概念：线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件.线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数.线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.使目标函数取得最大或最小值
9、的可行解叫线性规划问题的最优解.y x,变式1：求z=2x+y的最大值，使式中的 x、y满足约束条件 x y 1,x变式2.已知x, y满足xxy 1.2y 8 04y 4 0 ,求z 3x y的最大值和最小值。0例 5. 某工厂用两种不同原料均可生产一种产品， 若采用甲原料， 每吨成本 1000 元， 运费 500元， 可得产品 90 千克， 若采用乙原料， 每吨成本 1500 元， 运费 400 元， 可得产品 100 千克，若每日预算总成本不超过6000 元， 运费不超过2000 元， 问此工厂每日最多可生产多少千克产品？例6.两类药品有效成分如下表所示:成分药品阿司匹林(mg)小苏打(
10、mg)可待因(mg)每片价 (元)A （1 片）2510.1B （1 片）1760.2若要求至少提供12mg阿司匹林，70mg小苏打，28mg可待因，两类药片的最小总数是多少? 此时怎样搭配价格最低？总结：1.解决与线性规划相关的实际应用问题，一般可以按照以下步骤进行：(1)审清题意，确定并设出相关变元；(2)列出线性约束条件，线性目标函数，建立线性规划的数学模型；(3)运用图解法解线性规划问题；(4)回答实际问题。2.许多与线性规划相关的实际问题，变量往往是整数，这时要注意求出的最优解一定要是整点最优解，如果运用图解法得到的最优解不是整点最优解，就必须根据实际问题作出相应的调整，常用的方法有两种： 一是平移求解法，二是调整优值法，这两种方法前者依赖于作图, 后者依赖于推理，但都要充分利用非整点最优值和最优解。自主练习：21 .已知函数f(x) ax c满足 4 f (1)1, 1 f (2) 5,求f (3)的取值范围。2 .求出由不等式y 2及x y x 1所表示的平面区域的面积大小。
