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1、第三章 向量组一、n维向量1定义：称个实数组成的一个有序数组为实数集上的维向量。称为的第个分量，分量的个数称为的维数。2零向量：分量全是0的向量称为零向量，记为0。3行向量与列向量：写成一行的向量称为行向量。写成一列的向量称为列向量。二、向量的线性运算1相等向量维向量，若，则称与相等，记为=。2向量的加法（1）定义：设，则称 为向量与的和，记为（2）负向量与减法称为向量的负向量，称为减。（3）运算规律 交换律： 结合律：3数与向量的乘法（1）定义：为数与向量的乘积，记为（2）运算规律 例题精讲一、线性相关定理1：线性相关存在不全为0，使，不全为0有非零解秩特别地：（1）个维向量线性相关（2）个
2、维向量必线性相关定义1：，当且仅当时该式成立，则称线性无关.定理2：线性无关线性无关（减向量）线性无关（增坐标）即：向量组线性无关，则其中任一部分向量组必线性无关。（减向量）线性无关的向量组的每个向量都添加m个分量后仍线性无关。（增坐标）逆否命题成立。定理3：若向量组线性无关，且可由线性表示，则有。（即多数向量能由少数向量线性表出，则为线性相关）【例1】判断下列向量组的线性相关性：（1）（2）（3）【例2】设， P为何值时，向量组线性无关？ P为何值时，向量组线性相关？【例3】已知线性无关，试问常数满足什么条件时，向量组线性无关？（线性相关）？【例4】已知n维向量，线性无关，若，可由，线性表示
3、，设【例5】已知向量组，线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 （A） ，（B） ，,（C），（D） ，【例6】 已知向量组，线性无关，向量组，线性相关，则a = 【例7】设A是n阶矩阵，是n维列向量，若，证明向量组，线性无关。二、线性表出1. 定义：对维向量和，若存在一组数，使得，则称是的一个线性组合，或称可由线性表示。2. 定理：向量可由线性表出存在实数使得存在实数使得有解3向量组的等价（1）定义：若向量组的每一个向量都可由向量组线性表示，且向量组的每一个向量也可以由向量组线性表示，则称两个向量组等价。（2）性质 反身性：向量组与自身等价； 对称性：若向量与向量组等价，则向量组与向量组等价
4、； 传递性：向量组与向量组等价，且向量组B与向量组等价，则向量组A与向量组等价。【例8】已知，若可由，线性表示，且表示法不唯一，求t及的表达式。【例9】设向量组，线性相关，向量组，线性无关，问：（1）能否由，线性表示？证明你的结论。（2）能否由，线性表示？证明你的结论。三、向量组的秩、矩阵的秩1向量组的极大无关组设向量组的部分组满足条件：（1）线性无关；（2）中的任一向量均可由它们线性表示，则称向量组为向量组的一个极大无关组。2向量组的秩向量组的极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩，记为。3矩阵的秩矩阵A中存在一个阶子式不为零，而所有阶子式全为零，则称矩阵的秩为，记为4矩阵的秩与向量组的秩的
5、关系矩阵的秩=它的行向量组的秩=它的列向量组的秩5等价的向量组的性质（1）等价的向量组有相同的秩；（2）等价的线性无关的向量组含向量的个数相等；（3）向量组与它的极大无关组等价；6矩阵秩的不等式（1）（2）（3）若，中有一个是可逆阵，则【例10】（06年）设4维向量组 ，问为何值时线性相关?当线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. （数三、四） 【例11】设三阶方阵，试求.【例12】设 ,则 【例13】设是矩阵，是矩阵，则（A）当时，必有（B）当时，必有（C）当时，必有（D）当时，必有四、向量空间（数学二、三、四不作要求）1.向量空间的定义设是维向量的集合
6、，如果非空，且对于向量的加法和数乘两种运算封闭，则称为向量空间。2基设为向量空间，如果个向量，且满足（1）线性无关；（2）中任一向量都可由线性表示，则称向量为向量空间的一个基。称为向量空间的维数，记为，并称为维向量空间。3坐标设是维向量空间的一个基，对任一元素，总有且仅有一组数使称为在基下的坐标，记为4基变换与过渡矩阵（1）基变换与过渡矩阵设与都是n维向量空间的基，且 即称为基到基的过渡矩阵。或称为基变换公式。（2）坐标变换公式设，在基下的坐标为，在基下的坐标为，且则【例14】（09年）设是3维向量空间的一组基，则由基到基的过渡矩阵为 真题分析（06年）设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是 (A) 若线性相关，则线性相关. (B) 若线性相关，则线性无关. (C) 若线性无关，则线性相关. (D) 若线性无关，则线性无关. （数一、二、三、四） （07年）设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是【 】 (A) (B) (C) (D) （10年）设若由形成的向量空间维数是2，则 14
