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1、电力声 类比引言：电力声类比是应用电路理论来解决力学与声学问题。 定义：根据描述电振荡系统的微分方程和描述力学振动系统及声振动系统的微分方程在 形式上的相似性，常将力学量和声学量与相应的电学量作类比，以便借助电路理论来分析力 学振动和声振动的规律，称电力声类比。类比方法有二种：一种为阻抗型类比，也称正类比；另一种为导纳型类比，也称反类比。 5-1 电路元件及基本的电振荡器在电学系统的分析中，经常用电路图来描述元件与元件之间的关系，从而研究电磁运动 的规律。通过电路分析，有时不必去求解微分方程，而能直接了解系统的工作情况和特点。 即使要作定量分析研究，通过形象的电路图，利用克希霍夫电路定律，再去
2、建立微分方程， 也要简单得多。电路图最容易应用于集中参数的系统，因为集中参数元件的唯一变量是时间。在电声学 研究的系统中（如电声换能器），在低频时，大都近似地等效成集中参数系统，只要采用类 比的办法，把力学或声学系统画成等效类比线路图，然后利用电路理论来研究系统的工作情 况和特点。1. 基本电路元件：电容元件：I_ 1 瞬态：EC eI dtdEI=Cedt电感元件：ELe瞬态： E= LedidtI= L /EdteE电阻抗：Ze= 丫2. 基本的电振荡器：（1）串联谐振电路IRe如左图：I电流（安培），E电压（伏特）Ce由上图可得：E= ReI +LedIdtf! dt对于作简谐变化的稳态
3、电流值有：I0ejot则：E = Re! + jWLe! + 岛！=（Re + jLe + 為）1 =ee式中ze为串联回路的阻抗EI =即为熟知的欧姆定律e（2）并联谐振电路IOCeI 为电流（安培），E 为电压（伏特），Le为电感（享利），C：为电容（法特）,Re为电阻（欧姆）由上图可得：+ Ldt 坨 dEe对于作简谐变化的电压有：E=E0 ejrotE1111则：1=旦E+ jC E=(丄 + + jC )E = E则：R jeLJ e VRjeLJ J e丿 Zeeee1(11 c 、1/ c 1、Z =(R+ jeC ) = R + J(eCej)Ze Re jeLeeReeLee
4、ee5-2 力学元件和基本的力学振动系统1.力学元件：IZ/LZ/F 表示外力FK 表示弹性力Fr表示阻力Mm表示质点质量KM 表示弹性系数 CM 表示顺性系数cm=KL又称为力顺RM表示阻力系数，又称为力阻 M KM由牛顿第二定律得：F = madv即 M = F + F + F即 MdtK R其中：弹性力：Fk根据虎克定律有: fk=-瓦=-Cm ;vdt g为质点Mm离开平衡位置的位移，V为质点振动速度， 负号表示质点移的方向与弹性力方向相反阻力：dg一fr=rm=rmv 式中负号表示阻力总是与系统的运动方向相反。dv1.M石=F-C /Vdt-R V dtCMMdv1F= Mdt +
5、RmV +CM ；VdtFCMr iMMIRt,EO并联谐振电路相比较E1dE与并联谐振电路比较i=r； + f JEdt + CedreeF-I, V-E, Mm-C , RM丄,Cm-L M e M RM ee对简谐作用力F=Fo ejrotEMmV + RmV + 侖 V =（ Rm + jMM + 侖）V= ZMVMM式中ZM= RM + jttMM+询L称为力阻抗MRm为力阻，jMM称为质量抗，斋C 称为弹性抗J CM5-3 两种力电类比及其相互转换：串联谐振回路并联谐振回路L dt +RI + c Ji dt = ee=ZIedE ECelt + ReL JEdt = I =e+阻
6、抗型类比导纳型类比dvM-dt + R-v +JVdt = F = ZMV力学系统1.阻抗型类比：比较上面三个方程式：若把力阻抗ZM类比于电阻抗Ze,称为阻抗型类比。对应类比关系： F-E, RM-Re, MM-Le, CM-CeV (I)R(Re)M-(Le由此可得出力学振动系统的阻抗型类比线路图。由图运用电路克希霍夫定律可直接列出方程。 而不必用力平衡的方法来得出2.导纳型类比对并联谐振电路有：dE E 1CedT +Re +Le ；Edt = I=F(E)CM(Ce)串联谐振回路1=(右e1jeL-+ jeC )E=e对力学振动系统有：dvMm不+ RMV+皿=F = ZMV: E=(R
7、- + je-+ jc1-)V= ZMVM把力阻抗ZM类比于电导纳右 称为导纳型类比/ Je即F-1, v类比于E，R-右e，MM-Ce , CM -Le由此可得出力学振动系统的导纳型类比线路图：I町口羊厂FRe | Le CeV cmMM3. 转换法则：一个力学振动系统，既可以画成阻抗型的类比线路，也可以画成导纳型的类 比线路，而这两种类比线路所描述的却是同一物理事实。其转换法则：（1）一种类比图中的串（并）联元件，变为另一种类比图中的并（串）联元件。（2）一种类比图中的电阻（电导）性元件，变为另一种类比图中的电导（电阻） 性元件。一种类比图中的电感（电容）性元件，变为另一种类比图中的电容（
8、电感）性元件。电压（电流）源变为电流（电压）源。3）一种类比线路的网孔中，各串联元件上各降落之和，相当于另一种类比线路中一个分支点的流量之和。5-4 力学线路图的画法 阻抗型电路图 电流线把各个元件贯穿 在一起，形成电路图；电位的相对性：跨在元 件两端的量是电位差，其 零电位端即接地端；导纳型力学线路图 力线把各个元件贯穿起来形 成力学线路图 速度的相对性：跨在力学元件两端的量是速度差，因为 力学系统的运动速度相对于 惯性坐标系的，因此，速度 为零的一端是接地端。在电流分叉点工nI.=0符i=1 i在力的作用点，符合动力合克希霍夫第一定律。学平衡条件，即：工I中。根据以上三点分析，可仿效电路图
9、的画法来画出力学系统的类比线路图。应当指 出，用力线和电流线的类比作出的力学线路图，必然是导纳型的。如果需要作出阻抗 型的力学线路，则当需按法则进行转换。【例1】单振子强迫振动系统在外力F作用下，试求解这个系统的运动。/FMV=0 导纳型类比图我们从外力F （即恒流源）出发，引出一条力线，力线到达Mm时分成三支，分别 与三个力相平衡：一支穿过mm,与惯性力相平衡终止于刚性壁（因元件的速度都是 相对于惯性坐标系的，所以力线穿过元件 MM 到达零速度的刚性壁）另一支穿过力阻元件RM，与摩擦力相平衡，终止于刚性壁（力阻RM与质量mm 一起运动，因而其速度也是相对于惯性坐标系的）；还有一支穿过弹簧CM
10、与弹性力 相平衡，终止于刚性壁（力顺元件CM的速度也是相对于惯性坐标系的）这三条分支 线最后都汇合于刚性壁，即都联接于“接地端”。从物理上来看，质量mm,力阻rm,力顺CM三个元件的速度都相同，因此它们 在导纳型类比线路图中应是并联的。由导纳型类比图可得：V1jMMV丄RmV%= FMM dvMMdt1VCM 预=F1+ RmV +c Mt = F0j如）+ RmV +由类比线路图得到的是代数方程组，求解代数方程比解微分方程容易得多。例 2】隔振系统RM外力F作用弹簧的一端，从F出发引 一条力线，穿过CM到达Mm，此时， 力线将分为两个分支，分别与惯性力和摩擦力相平衡，其一穿过mm而终止于 惯
11、性系统（地）另一条则穿过rm终止 刚性地面，此二条分支共同汇合于地IID端。V1VVVjg-=1+ 1jMRJMMV + RmV +jC-M1赫姆霍兹共鸣器：Vpsa、1、V1/3入a为开口半径,1为开口长度，Vi/3为腔体线度dv 1 1M-dt + RmV+ c JVdt = c JVdtMdtMCMCM15-5 声学元件及基本的声振动系统赫姆霍兹共鸣器是最基本的声振动系统。该共鸣器必须符合下列条件： 开口管内体积S1V其中S为开口的截面积蓄S=na2 器壁为刚性的，它不会把腔内媒质的疏密过程传递到腔外去根据条件短管内媒质可以看作一个质点根据条件短管可以看成是一个质量元件根据条件体腔内压强
12、的变化相当于作用在管内质量上的弹性力，亦即起了力学系统 弹簧的作用.设开口管中媒质的质量为mm则mm= p 1SV腔体内媒质的力顺cM=pc2 开口管内媒质运动的摩擦力阻为rm若在开口处有声压P=PAeJfflt的作用，则该振动系统的运动方程为:d2gdg 1仔=SPQtr -t - CM dt AM dt CMdv1Mm + RmV+ c /Vdt = SPQEMdt MCMAv为开口管空气柱的运动速度V+C1S /Vdt=P ejrotU 为体积速度 则运动方程为RmS2Mm-v +Rm若令U=VSM duM -S2 dtduMAdt + RAU+S dt + SU+ CL JUdt =
13、P ejot护AC JUdt = P ejrotCAA_Mm _ P01_ V0其MA = s2 =_S为声质量CA = CMS2=PC2为声容（或声顺）P1ZA = U = Ra+J（eMA_疋）为声阻抗AZA为声欧姆1声欧姆=1牛顿秒/米5与串联谐振电路比较：E=ReI +duP = RAU+ MAdtC Jldte+ C JUdtIR串联谐振电路等效声学线路类比的声学系统（同电学、力学线路图一样，声学线路图也有类似的）特点 声流线：流过各个声学元件的是声流线即体积速度流线； 压强的相对性：在元件两端是压强差，对于大气压强PO端，可接地； 在元件交界处EUi=0 注意用声流线与电流线相类比画出的图
