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1、东北师范大学附属中学网校（版权所有 不得复制）期数 0512 SXG3 068学科：理科数学 年级：高三 编稿老师：毕 伟 审稿老师：杨志勇 同步教学信息预 习 篇预习篇五十二 高三理科数学总复习二十九 数列的综合应用【基础知识概要】数列综合题的四种题型1 数列与其他知识的综合题数列综合题，包括数列知识与指数函数、对数函数、不等式的知识的综合，另外，数列在三角函数，解析几何等部分也有广泛的应用。2 数列的探索性问题探索性问题是高考的热点，常在数列的解答题中出现，探索性问题对分析问题、解决问题的能力有较高的要求。3 等差数列与等比数列的综合问题4 数列的实际应用数列涉及实际应用的开放性问题广泛而
2、多样，例如圆钢的堆垒、增减率、银行信贷、养老保险等问题. 解数列应用问题就是从实际出发，抽象概括出数列模型，然后通过推理演算得出数列模型的解，再还原说明实际问题的解.【典型例题解析】例1在圆 为过该点最短弦的长，为过该点最长弦的长，公差为，那么n的值是（ ） A2 B3 C4 D5分析：当弦为直径是最大，当弦与圆心距垂直时最短，结合数列知识即可求解。解：由，得，过点最长的弦为直径5，最短的弦长为，即，故，故选D例2设关于方程的四个根组成以2为公比的等比数列，求 的值 分析：根据四个根成等比数列，可先恰当设出四个根，再由方程中的特殊性，常数项同时为1，判断出哪两项对应哪个方程的两个根，然后用韦达
3、定理得出根与系数关系，从而求出ab的值 解：设以2为公比，成等比数列的四个根依次为两方程的常数项同时为，只有时才有解，此时是其中一个方程的两根，是另一方程的两根，不妨设是方程的两根，是方程的两根，则即，例3某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+)万元（n为正整数）.（）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为B
4、n万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；（）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？解：（）依题设，An=(50020)+(50040)+(50020n)=490n10n2；Bn=500(1+)+(1+)+(1+)600=500n100.（）BnAn=(500n100) (490n10n2)=10n2+10n100=10n(n+1) 10.因为函数y=x(x+1) 10在（0，+）上为增函数，当1n3时，n(n+1) 1012100.仅当n4时，BnAn.答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造
5、的累计纯利润.例4如图，直线相交于点P.直线l1与x轴交于点P1，过点P1作x轴的垂线交直线l2于点Q1，过点Q1作y轴的垂线交直线l1于点P2，过点P2作x轴的垂线交直线l2于点Q2，这样一直作下去，可得到一系列点P1、Q1、P2、Q2，点Pn（n=1，2，）的横坐标构成数列（）证明；（）求数列的通项公式；（）比较的大小.证明：（）设点Pn的坐标是，由已知条件得点Qn、Pn+1的坐标分别是：由Pn+1在直线l1上，得 所以 即 （）由题设知 又由（）知 ，所以数列 是首项为公比为的等比数列.从而 （）由得点P的坐标为（1，1）.所以 （i）当时，1+9=10.而此时 （ii）当时，1+9=1
6、0.而此时 【强化训练】同步落实级一、选择题1设某工厂生产总值的月平均增长率为，则年平均增长率为（ ）A BC D2一弹性球从100米的高处落下，每次着地后又跳回原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程总和约为（ ）A199.8米 B299.6米 C166.9米 D266.9米二、解答题3某鱼塘养鱼，由于改进了饲养技术，预计第一年产量的增长率为200%，以后每年的增长率是前一年的一半，设原来的产量为a.（1）写出改进饲养技术后的第一年、第二年、第三年的产量，并写出第n年与第n1年（，且n为自然数）的产量之间的关系式.（2）由于存在鱼塘老化及环境污染等因素，估计每年将损失年产量的10%
7、，照这样下去，以后每年的产量是否逐年提高？若是，请给予证明；若不是，请说明从第几年，产量将不如上一年，（参考数据lg20.3010，lg30.4771）同步检测级一、选择题1若的方程的四个根可组成首项为的等差数列，则的值为（）A B C D2有200根相同的圆钢，将其中的一部分堆放成一个纵断面为正三角形的钢垛，要求剩余的根数尽可能的少，这时剩余的圆钢有（ ）A9根 B10根 C19根 D20根3ABC中，三内角成等差数列，三边成等比数列，则三内角的公差等于（ ）A0 B15 C30 D45二、解答题4甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时出发相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走
8、1m，乙每分钟走5m.（1）甲、乙开始运动后几分钟相遇？（2）如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？5刘磊大学毕业参加工作后，计划参加养老保险，若每年年末存入等差额年金元，即第1年末存入元，第2年末存入2元，第年末存入元，年利率为，则第年年初他可一次性获得养老金本利合计多少元？参考答案同步落实级一、1D 2B二、3解：（1）设改进饲养技术后，第n年的产量为（n1，2，），则由题意，第n年与第n1年的产量之间的关系是（）.（2）若考虑损失因素，则第n年与第n1年的产量之间的关系为，即.假设，得，即，所以 故.答：以后每年产量不是始终逐年提高，从第6年起，产量将不如上一年.同步检测级一、1D 2 B 3A 二、4解：（1）设分钟后第一次相遇，由题意得 ， 整理，得 ， 解得或-20（舍去）. 所以在开始运动7分钟后第一次相遇.（2）设分钟后第二次相遇，由题意得 ,整理，得 ， 解得或-28（舍去）.所以在开始运动15分钟后第二次相遇.4解：由已知，设第年年初刘磊可一次性获得养老金本利合计S元，则 ， ， 则， 即.
