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1、梯形常用辅助线的做法延长两腰等腰梯形直角梯形平移一条对角线作糕形的中位线 过糕形一腰的中点构造全等三角形平移梯形的腰利用一腰中点旋转将梯形补成平行四边形将梯形补成等腰桶形1. 平移梯形一腰或两腰，把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中，同时还得 到平行四边形.【例1】 已知：如图,在梯形ABCD中，展二贝七二既二DO .求证:分析:平移一腰BC到DE,将题中已知条件转化在同一等腰三角形中解决，即 AB=2CD.证明：过D作,交AB于E.之 c厂/ AB平行于 CD,且 BC = DC , z_XAE B.四边形顷。是菱形.-DE = BC=AD 又曷二时为等边三角形.心况又双二应二业，-AE=
2、EB = CD . -AB= 2CD.【例2】如图,在梯形ABCD 中, AD#BC , E、F分别是AD、BC的中点，若= .AD = 7 ,BC = 15 ,求 EF .A E D分析：由条件葺=，我们通过平移AB、:、DC ；构造直角三角形MEN，使EF恰好是 MEN的 B M F N C 中线.解：过E作EMAB ,EN DC ,分别交BC于M、N , .邓+圣二件,：.dMEN是直角三角形，.HQ = 7 , BC = 15、F分别是。、的中点,E = -MN=4F为洌的中点，.2变式：如图1,梯形ABCD的上底AB=3,下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。图1析解：过
3、点B作BM/AD交CD于点M,则梯形ABCD转化为ABCM和平行四边形ABMD。在 BCM 中，BM=AD=4, CM=CDDM=CDAB=8 3=5,所以 BC 的取值范围是：54BC5+4，即 1BCCD，求证：BDAC。E析证：作AEXBC于E,作DFLBC于F,则易知AE=DF。在RtABE和RtDCF中，因为 ABCD, AE=DF。所以由勾股定理得BECF。即 BFCE。在 RtABDF 和 RtCAE 中由勾股定理得BDAC4. 平移对角线一般是过上底的一个端点作一条对角线的平行线,与另一底的延 长线相交，得到一个平行四边形和三角形，把梯形问题转化为平行四边形和三角 形问题解决.
4、【例5】.如图，等腰梯形展业 中，砒CD，血二 ,且加mH是 高，机是中位线,求证：逾.MN=-（CE）+ AB）分析：由梯形中位线性质得2，欲证伽二。丑，只要证CH = -CD-AB2.过2点作顷班，交展 的延长线于封，就可以把崩、5 和展 移到三角形中，再证明等式成立就简单多了.证明：过2点作CE/IDB交AB的延长线于点击，则四边形典。是平行四边形.和二业，皿皿四边形ABCD是等腰梯形,.心实,.北=花又.北上盐，.如项归._LAE AH = HE,CH = -AS2/ AE = ABBE = ABCDCH 二一展 +MN = -（AB + CD）又.八 ，.洌二留【例6】.已知：如图，
5、在梯形如口中,A2ED,AC =.求证：梯形露D是等腰梯形.证明：过D作DEUCA，交ba延长线于E.则四边形理。是平行四边形.DE = AC = DBADBA=ZCAB于是,可得宜AB三配BA AD = BC .梯形ABCD是等腰梯形.变式1：如图3,在等腰梯形ABCD中，AD/BC, AD=3, BC=7, BD= 5、丘，求证：ACBDO图3析解：过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E,易得四边形BCED是平行四边形，则DE=BC, CE=BD= 52，所以 AE=AD+DE=AD+BC=3 + 7=10。在等腰梯形 ABCD 中，AC=BD= 5、互, 所以在 ACE 中，AC2 +
6、 CE2 = (5互)2 +(5*2)2 =100 = AE2，从而ACXCE，于是ACBDO变式2：(平移对角线)已知梯形ABCD的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条 对角线与两底垂直，则另一条对角线长为变式 3:如图 4，在梯形 ABCD 中，AD/BC，AC=15cm，BD=20cm，高 DH=12cm，求梯形 ABCD 的面积。图4析解：过点D作DE/AC，交BC的延长线于点E，则四边形ACED是平行四边形，即AABD AACD ADCE 所以,梯形ABCD = S ADBE由勾股定理得 EH = tDE2 DH2 = ；AC2 DH2=%152 122 = 9 (cm)BH
7、 = 2BD2 DH2 = % 202 122 = 16 (cm)所以 S = LbE DH = 1X (9 +16) X12 = 150(cm2)，即梯形 ABCD 的面积是 150cm2。ADBE 225. 遇到梯形一腰中点的问题可以作出梯形的中位线，中位线与上、下底都平行， 且三线段有数量关系.或利用“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点, 并延长与下底延长线交于一点，构成三角形解决问题.【例7】.已知：如图4,在梯形眼业 中，心B京 是站 的中点，且ABLBE .求证：3世雹.证明：取5的中点F,连结FE.则AD-BC = 2EF.山龄=9尸,.薛=2故.-ADBCAH . .【
8、例8】.已知：梯形ABCD中AD BC,E为AB中点，且AD + BC=DC , 求证: DEEC,DE 平分 ZADC,CE 平分 ZBCD.证法1：取DC中点F,连结EF,E为AD中点，则EF为梯形的中位线1 EFADBC EF二云(AD + BC) Z1=Z5,Z3=Z6DC=AD + BC1EF=云DC=DF=CF Z1=Z2,Z3=Z4 Z2=Z5,Z4=Z6 Z1 + Z3+Z2+Z4=180 Z1 + Z3=90 DEC,DE 平分 ADC,CE 平分 ZCD证法2：延长CE与DA延长线交于一点F,过程略.证法3：在DC上截取DF=AD，连结AF、BF、EF解决.变式1：如图9,
9、在梯形ABCD中，AB/DC, O是BC的中点，ZAQD=90,求证：AB+CD=AD。图9析证：取AD的中点E,连接OE,则易知OE是梯形ABCD的中位线，从而OE=1 （AB+CD） 2在AOD 中，匕AOD=90, AE=DE所以OE 1AD 2由、得AB+CD=AD。变式2：在梯形ABCD中，ADBC，ZBAD=9Oo, E是DC上的中点，连接AE和BE，求匕AEB=2ZCBEO解、分析：分别延长AE与BC，并交于F点，从而等到 ADE与FCE是全等的，在利 用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可以求出结论”。D A工F C B解：分别延长AE与BC，并交于F点,?ZBAD=9O
10、o 且 ADBC.ZFBA=18Oo-ZBAD=9Oo又ADBCAZDAE=ZF（两直线平行内错角相等）ZAED=ZFEC（对顶角相等）DE=EC（E点是CD的中点）.ADE*FCE（AAS）.AE=FE在ABF 中匕FBA=900 且 AE=FE. BE=FE （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）. 在 AFEB 中 ZEBF=ZFEBZAEB=ZEBF+ ZFEB=2ZCBE6. 已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交， 使问题转化为三角形中位线。例10如图10,在梯形ABCD中，AD/BC, E、F分别是BD、AC的中点，求证：(1) EF/AD；
11、 (2) EF = 1(BC- AD)。2B C C图10析证：连接DF，并延长交BC于点G,易证 AFDCFG则 AD=CG, DF=GF由于DE=BE,所以EF是 BDG的中位线从而 EF/BG,且 EF = 1BG2因为 AD/BG, BG = BC CG = BC AD所以 EF/AD, EF = 1(BC AD)27.当遇到以上的梯形辅助线添加后不能解决问题时,可以特题特解，结合具体问 题中的具体条件，寻求特殊的方法解决问题.比如可将对角线绕中点旋转18萨、利用一腰中点旋转1日*、将梯形补成平行四边形或三角形问题.【例9】.已知：如图5,在梯形ABCD中严作小 虬.；N分别是BD、AC的中点.求证：BC,MN = -(BC-AD)/ 2-Bf (证明：连结并延长时，交 于E.则M通三AEMB . AM = ME,AD =
