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1、55 向心加速度精讲精练知识精讲知识点1 速度变化量(1) 速度变化量是指运动的物体在一段时间内的末速度与初速度之差/(2) 速度变化量是矢量.因为速度是矢量,有大小,有方向，故末速度与初速度之差也有大小和方向。例如，小球向正东方向做直线运动，初速度为v1=5m/s,10s后末速度变为v2=10m/s,方向向西。取正东为正方向，则有:v=v2-v1=(-10m/s)-5m/s=-15m/s即速度变化量的大小为15m/s,它的方向是向西.(3) 用矢量图表示速度变化量 作法:从同一点作出物体在一段时间的始末两个速度矢量v1和v2,从初速度矢量v1的末端作一个矢量v至末速度矢量v2的末端，所作的矢
2、量v就等于速度的变化量. 直线运动中的速度变化量:如果速度是增加的,它的变化量与初速度方向相同(图甲);如果速度是减小的，其速度变化量就与初速度的方向相反(图乙).v1v2v乙v1vv2甲 曲线运动中的速度变化量:物体沿曲线运动时,初末速度v1和v2不在同一直线上,速度的变化量v同样可以用上述方法求得.例如，物体沿曲线由A向B运动,在A,B两点的速度分别为v1,v2(如图1).在此过程中速度的变化量如图2所示.可以这样理解:物体由A运动到B时,速度获得一个增量v,因此v1与v的矢量和即为v2.我们知道，求力F1和F2的合力F时,可以以F1和F2为邻边作平行四边形，则F1和F2vv1v2ABCD
3、图3所夹的对角线就表示合力F.与次类似，以v1和v为邻边作平行四边形,两者所夹的对角线就是v1和v的矢量和,即v2.如图3所示.因为AB与CD平行且相等,故可以把v1, v,v2放在同一个三角形中，就得到如图2所示的情形.这种方法叫矢量的三角形法.vv2v1图2ABv2v1图1例1物体做匀速圆周运动的速度大小为v,则该物体从A运动到B转过90角过程中，速度变化的大小为 ,方向为 .vAvvBAAB思路分析做A,B两点的速度矢量,并将B的速度矢量移到A点，如图所示,则v为速度变化，由Rt得: v=v与A点速度方向夹角=135斜向上方.答案 速度变化的方向与A点速度方向成135角斜向上方.方法总结
4、速度矢量变化量v=v末-v初,用作图法求v的方法:从同一点作出初,末速度矢量(不在同一点的,平移至同一点),从 v初矢量末端至v末矢量末端作有向线段v, v即速度的变化量.ABOvAvB变式训练1如图所示,设支点沿半径为r的圆周做匀速云周运动，在某时刻t位于A点，速度为vA,经过很短时间t运动到B点，速度为vB,做图求出速度改变量v=vA-vBvAvB答案 知识点向心加速度(1)探究向心加速度的大小和方向做匀速圆周运动的物体，其速度的大小(速率)不变,方向不断改变,所以加速度a没有与v同方向的分量，它只是反映了速度v方向的不断改变.如图甲所示,设质点沿半径为r的圆周做匀速圆周运动，在某时刻t位
5、于A点，速度为vA,经过很短的时间t,运动到B点，速度为vB,把速度矢量vA和vB的始端移至一点，求出速度矢量的改变量v=vB - vA,如图乙所示.vvBvA乙vBvAAB甲比值v/t是质点在t时间内的平均加速度，方向与v方向相同，当t足够短,或者说t趋近于零时, v/t就表示出质点在A点的瞬时加速度，在图乙所示矢量三角形中，vA和vB大小相等,当t趋近于零时, 也趋近于零, v的方向趋近于跟vA垂直而指向圆心，这就是说，做匀速圆周运动的质点在任一点的瞬时加速度方向都沿半径指向圆心.图乙中的矢量三角形与图甲的三角形OAB是相似形,用v表示vA和vB的大小，用l表示弦AB的长度，则有:v/v
6、=l/r 或 v=lv/r 用t除上式得 v/t=(l/t)(v/r)当t趋近于零时, v/t表示向心加速度a的大小, l/t表示线速度的大小v,于是得到 a = v2/r这就是向心加速度的公式，再由v=r得 a=r2=v(2)向心加速度 定义:做匀速圆周运动的物体,加速度指向圆心，这个加速度称为向心加速度。 大小:an= v2/r或 an=r2方向:总是沿半径指向圆心，即方向始终于运动方向垂直.注意:an方向时刻改变，不论大小是否变化，所以圆周运动是变加速运动. 相同，a1/r 向心加速度描述的是速度方向变化的快慢. 向心加速度a=v2/r是在匀速圆周运动中推导出来的,对非匀速圆周运动同样适
7、用,只要将公式中的速度v改为瞬时速度即可. 利用v=r,向心加速度公式可写成a=v. 利用=2/T,向心加速度公式可写成a=(2/T)2R.例2关于向心加速度，下面说法正确的是( )A. 向心加速度是描述线速度变化的物理量B. 向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小C. 向心加速度大小恒定，方向时刻改变D.向心加速度的大小也可用a=(vt-v0)/t来计算思路分析 加速度是描述速度变化快慢的物理量，向心加速度是描述线速度方向快慢的物理量,因此A错,B对.只有匀速圆周运动的向心加速度大小恒定,C错.公式a=(vt-v0)/t适用于匀变速运动,圆周运动是变速运动,D错.答案 B方法总结
8、向心加速度是矢量,方向始终指向圆心.变式训练 物体做半径为R的匀速圆周运动，它的向心加速度，角速度，线速度和周期分别为a,v和T.下列关系正确的是( )A. = B、 C、a=v D、答案ABCD 难点精析1圆周运动中的速度和加速度例3关于匀速圆周运动，下列说法中正确的是( )A. 匀速圆周运动是匀速运动B. 匀速圆周运动是匀变速曲线运动C. 物体做匀速圆周运动是变速曲线运动D. 做匀速圆周运动的物体必处于平衡状态思路分析做匀速圆周运动的速度和加速度大小不变,方向时刻在变,因此匀速圆周运动不是匀速运动，也不是匀变速运动,选项A,B错，做匀速圆周运动物体的合外力即向心力,提供向心加速度，当然物体
9、不是处于平衡状态，选项D错答案 C 方法总结 速度和加速度均是矢量,矢量的变化不仅考虑大小的变化，还要考虑方向的变化，匀速圆周运动应该理解为匀速率圆周运动.变式训练3如右图所示,圆轨道AB是在竖直平面内的1/4圆周，在B点轨道的切线是水平的,一质点自A点从静止开始下滑,不计摩擦和空气阻力,则在质点刚要到达B点时的加速度大小为 ,滑过B点时的加速度大小为 .AB答案 2g g 难点精析2例4关于质点做匀速圆周运动的说法正确的是( )A. 由a= v2/r知a与r成反比B. 由a= r2知a与r成正比C. 由=v/r知与r成反比D. 由=2n知 与转速n成正比思路分析由a= v2/r,只有在v一定
10、时,a才与r成反比，如v不一定，a与r不一定成反比.同理,只有当一定,a才与r成正比；v一定时,与r成正比.因2是定值,故与n成正比.答案 D 方法总结公式a= v2/r = r2=(2/T)2R中有三个量时,在某一个量不变时,剩余的两个量的关系才能明确.即在v一定时a与r成反比,在一定时,a与r成正比.公式=v/r在v一定时,与r成反比. =2n知, 与转速n成正比.变式训练4如图所示,A,B两点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象，其中A为双曲线的一个分支,由图可知 ( )OABarA.A物体运动的线速度大小不变B.A物体运动的角速度大小不变C.B物体运动的角速度大小不变D.B物体运
11、动的线速度大小不变答案 A C难点精析3传动装置中物理量的联系例5如图为一皮带传动装置，右轮的半径为r,a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴,大轮半径为4r,小轮半径为2r,b点在小轮上,到小轮中心距离为r,c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑,则 ( )A.a点与b点线速度大小相等B.a点与c点C.a点与d点向心加速度大小相等ard4r2rcbrE. a,b,c,d四点中,加速度最小的是b点思路分析皮带轮传动的是线速度,所以ac两点线速度大小相等。所以A,B错;a,d两点加速度由a=v2/r有:aa=vc2/r,ad=(2vc2)2/4r,所以aa=ad;在b,c,d
12、中,由a=2r,有b点加速度最小，所以C,D正确.答案 CD方法总结(1)在传动装置中要抓住两个基本关系:皮带(或齿轮)带动的接触面上线速度大小相等，同一转轴上的各部分角速度相等.(2)在线速度相等的情况下，比较向心加速度的大小，用公式a=vc2/r;在角速度相等的情况下,用公式a=2r则较为方便.变式训练5如下图,一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动,大轮的半径是小轮的2倍,大轮上的一点S与转动轴的距离是半径的1/3,当大轮边上P点的向心加速度是12cm/s2时,大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度多大?QPS答案 as=4cm/s2 ; aQ=24 cm/s2综合拓展向
13、心加速度大小a=v2/r= r2=(2/T)2R;向心加速度方向时刻指向圆心,与速度方向垂直。圆周运动知识与其他力学知识相结合解决问题.例6如图所示,定滑轮的半径r=2cm,绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物,由静止开始释放，测得重物以加速度a=2m/s2做匀加速运动在重物由静止下落距离为1m的瞬间，滑轮边缘上的点的角速度= rad/s,向心加速度a= m/s2思路分析重物下落1m时,瞬时速度为v显然,滑轮边缘上每一点的线速度也都是2m/s,故滑轮转动的角速度,即滑轮边缘上每一点的转动角速度为:=v/r=(2/0.02)rad/s=100rad/s向心加速度为a= r2=10020.02m/s2=200m/s2答案 =100rad/s a=200m/s2方法总结本题讨论的是变速运动问题，重物落下的过程中滑轮运动的角速度，轮上各点的线速度都在不断增加，但在任何时刻角速度与线速度的关系(v=r),向心加速度与角速度,线速度的关系(a= r2=v2/r)仍然成立.活学活练基础达标1.关于向心加速度的物理意义,下列说法正确的是( )A. 它描述的是线速度方向变化的快慢B. 它描述的是线速度大小变化的快慢C. 它描述的是向心力变化的快慢D. 它描述的是角速度变化的快慢2.由于地球的自转,下列关于向心加速度的说法正确的是( )A. 在地球表面各处的向心加速度都指向地心
