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1、讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载）讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。 Sn(x) = , (i) x， (ii) x； Sn(x) = x, x； Sn(x) = sin, (i) x， (ii) x()； Sn(x) = arctan nx, (i) x， (ii) x； Sn(x) = , x； Sn(x) = nx(1 - x)n , x； Sn(x) =ln, (i) x， (ii) x)； Sn(x) = , (i) x， (ii) x； Sn(x) = (sin x)n , x； Sn(x) = (s
2、in x), (i) x， (ii) x（）； Sn(x) = , (i) x， (ii) x()； Sn(x) = , (i) x, (ii)。解 （1）(i) ， / 0（），所以在上非一致收敛。 (ii) ，所以在上一致收敛。（2），所以在上一致收敛。 （3）(i) ， / 0（），所以在上非一致收敛。 (ii) ，当，所以在上一致收敛。（4）(i) ， / 0（），所以在上非一致收敛。(ii)，所以在上一致收敛。（5），由于，于是，所以在上一致收敛。（6）， / 0（），所以在上非一致收敛。（7）(i) ，由于，且 ，于是 ，所以在上一致收敛。(ii) ， / 0（），所以在上非一致收
3、敛。 （8）(i) ， / 0（），所以在上非一致收敛。(ii) ， / 0（），所以在上非一致收敛。（9），取，使得，则， / 0（），所以在上非一致收敛。（10）(i) ，取，使得，则 / 0（），所以在上非一致收敛。 (ii) ，所以在上一致收敛。（11）(i)， / 0（），所以在上非一致收敛。(ii)，由于，且当充分大时，于是 ，所以在上一致收敛。 （12）(i)， / 0（），所以在上非一致收敛。(ii)，Sn(x) = ，由于，可知 ，所以在上一致收敛。习题三(A层)1. 下列函数在给定的区间上是否满足罗尔定理的条件?如果满足, 求出定理中的值.(1) , ; (2) , .2.
4、 下列函数在给定区间上是否满足拉格朗日中值定理的条件?如果满足, 求出定理中的值. (1) , ; (2) ; , (3) , 3. 利用罗必达法则求极限 (1) ; (2) ; (3) ; (4) ;(5) ; (6) ; (7) ; (8) .4. 求下列函数的单调区间(1) ; (2) ; (3) ; (4) ;(5) ; (6) .5. 求下列函数的极值(1) ; (2) ; (3) ; (4) .6. 利用二阶导数求下列函数的极值(1) ; (2) .7. 求下列函数在给定区间上的最大值与最小值 (1) , ; (2) , ,(3) , ; (4) , .8. 求下列曲线的凹凸性与拐
5、点(1) ; (2) ; (3) , (4) .9. 求下列曲线的渐近线 (1) , (2) , (3) ; (4) .10. 作出下列函数的图形 (1) ; (2) ; (3) ; (4) .11. 设某产品的成本函数为, 求生产100个单位产品时的总成本、平均成本和边际成本.12. 设某产品生产q单位的收益R为, 求生产10个单位产品时的收益、平均单位产品的收益和边际收益.13. 某工厂生产某种产品, 每天的收益R(单位: 元)与产量q(单位: 吨)的函数关系为, 成本函数为, 求当每天生产20吨、25吨、30吨时的边际利润, 并说明其经济意义.14. 设某商品需求量q与价格P的函数关系为
6、, 求需求量q对于价格p的弹性函数.15. 设某产品的成本函数为(万元), 问产量为多少时, 该产品的平均成本最小?16. 设某产品的需求函数为, 生产该产品的固定成本为1000元, 每生产一个单位产品, 成本增加5元, 问产量为多少时, 该产品的利润最大, 并求最大利润.17. 设某商品的需求函数为(1) 求时的边际需求, 并说明其经济意义.(2) 求时的需求弹性, 并说明其经济意义.(3) 求时, 若价格上涨1%,收益将变化百分之几?是增加还是减少？(4) 求时, 若价格上涨1%,收益将变化百分之几?是增加还是减少？(5) 问p为多少时, 该商品的收益最大？18.设商品的需求函数, 其中分
7、别表示需求量与价格, 如果商品需求弹性绝对值大于1, 求商品价格的取值范围. (B层)1.利用洛必达法则求极限(1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ;(6) ; (7) ; (8) .2.设函数有惟一拐点,且是的极大值, 试确定的值.3.一商家销售某种商品的价格满足关系(万元/吨), 为销售量(单位: 吨), 商品的成本函数 (万元), (1) 若每销售一吨商品, 政府要征税(万元), 问销售量为多少时, 该商家能获得最大利润?(2) 为何值时, 政府税收总额最大?4.某公司经销商品, 向银行贷款100万元, 年利息10%, 且按年复利计算, 若每年该商品的总销售量与商品价格
8、(万元/吨)的关系为, 商品成本, 又每年政府从商家利润中每万元收0.1万元的税, 如果每年按最大利润计算, 问3年后能否还清贷款?5.若某商品的需求函数,试求(1)时的边际需求;(2) 时的需求弹性;(3)当时, 若价格下降2%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少? (C层)1. 设,其中可微, 求.2. 如果, , 求.3. 证明不等式当时, .4. 试确定常数(), 使曲线的拐点处的法线通过原点.5. 证明方程只有一个正根.6. 证明恒等式, .习题4-12设函数在上可导, 且(为常数). 证明: , 其中为常数.证明: 设函数, 则函数在上可导, 且.由拉格朗日中值定理的推论1知: , 其中为常数. 即.5. 证明: .证明: 设, 在区间上对函数 用拉格朗日中值定理, 存在使得 ,因为, 我们有.8. 设为三个实数, 函数在上连续, 在内二阶可导, 且. 证明: 在区间内至少有一点, 使得.证明: 在区间,上对函数分别用罗尔中值定理, 存在 , , 使得. 在区间上对函数用罗尔中值定理, 存在 使得.
