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1、A偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数答案：Bbg(x) 2在(0, +oo)上有最大D.最大值3函数的奇偶性问题一、选择题1 .已知函数 f (x) =ax2+bx+c (aw0)是偶函数，那么 g (x) =ax3+bx2+cx ()A奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数解析：f (x) = ax2+bx+ c为偶函数，(x)x为奇函数， .g (x) = ax3+bx2 + cx = f (x) (x)满足奇函数的条件.答案：A2 .已知函数f (x) = ax2+bx+3a+b是偶函数，且其定义域为a- 1, 2a,则()八1A. a , b= 0B
2、. a= - 1, b= 0C. a= 1, b= 0D. a= 3, b= 03解析：由f (x) = ax2+bx+ 3a+b为偶函数，得 b=0. 1, 又te乂域为a- 1, 2a,a1 = 2a,. a -.故选 A.33 .已知f (x)是定义在 R上的奇函数，当 x0时，f (x) =x22x,则f (x)在R上的表达式是()A. y=x (x 2) B. y =x(| x|1) C. y = | x | (x 2) D. y=x(| x|2) 解析：由x0时，f (x) =x22x, f (x)为奇函数， 22.当 x0 时，f(x)=- f (x) =( x + 2x)= x
3、 2x=x( x2).x(x2) (x 0),f(x)即 f(x) =x(|x|2)答案：Dx( x 2) (x 0),4 .已知 f (x) =x5+ax3+bx 8,且 f (2) =10,那么 f (2)等于()A 26B. - 18C. 10D. 10解析：f (x) + 8=x5+ax3+bx为奇函数，f (2) +8=18,，f (2) + 8=- 18, f (2) =26.答案：A5 .函数 f (x) J x _x一1 是()1 x2 x 1解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f ( x) +f (x) =0.6 .若(x), g (x)都是奇函数，f (x) a值5,则f
4、(x)在(巴 0)上有()A.最小值5B.最大值5 C.最小值1 解析：(x)、g (x)为奇函数，f (x) 2 a (x) bg(x)为奇函数.又f (x)在(0, +8)上有最大值 5,/.f (x) 2有最大值3. .f (x) - 2在(巴 0)上有最小值3,f (x)在(00, 0)上有最小值1.答案：C二、填空题x 2 27 .函数f (x)的奇偶性为 奇函数 (填奇函数或偶函数).1 x228 .右 y= ( ml-1) x+2m圻 3 是偶函数，则 m=0.解析：因为函数 y= (mi- 1) x2 + 2m杆3为偶函数，.f (x) = f (x),即(m- 1) (x)
5、2+2m( x) +3= ( m 1) x2+2m奸 3, 整理，得m= 0.19 .已知f (x)是偶函数，g (x)是奇函数，右 f (x) g(x) ,则f (x)的x 1一一1斛析式为 f (x)- .x 1 一解析：由f (x)是偶函数，g (x)是奇函数，可得 f (x) g(x),联立 f(x) g(x), 一x 1x 11 111f(x)-(-)-.2 x 1 x 1 x 110 .已知函数f (x)为偶函数，且其图象与 x轴有四个交点，则方程 f (x) = 0的 所有实根之和为0 .三、解答题11 .设定义在2, 2上的偶函数f (x)在区间0, 2上单调递减，若f (1
6、1m) 0时，f (x) = x3 + 2x2 1,求f (x)在R 上的表达式.解析：本题主要是培养学生理解概念的能力.f (x) =x3+2x21.因 f (x)为奇函数，f (0) =0.当 x0, f (x) = ( x) 3+2 (x) 2- 1 = - x3+ 2x2- 1,.,.f (x) = x3- 2x2+ 1.x3 2x2 1(x 0),因此，f(x) 0(x 0),x3 2x2 1(x 0).点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力.14 . f (x)是定义在( 8, 55, +oo)上的奇函数，且 f (x)在5, 十 8)上单调递减，试判断 f (x)在(
7、8, 5上的单调性，并用定义给予证明. 解析：任取 x1x2x25.因 f (x)在5, +8上单调递减，所以 f ( x1)v f ( x2)f (x。vf (xOf (x。f (x2),即单调减函数.点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化.15.设函数y=f(x)(xR且xW0)对任意非零实数x1、x2满足f(x1 x2)= f(xO+ f (地)，求证f (x)是偶函数.解析：由xb x2 R且不为0的任意性，令 x1=x2=1代入可证，f (1) = 2f (1), f (1) =0.又令 x1= x2= 1,.f 1 X (1) = 2f (1) =0,(1) =0.又令 x= 1, x2=x,.f (x) =f (1) + f (x) =0 + f (x) = f (x),即 f (x)为偶函数.点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x1=x2=1, x1=x2=1或x1= x2= 0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可.
