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1、四边形中的旋转、折叠问题例题：如图，在直角坐标系中放入一个边长0C为9的矩形纸片ABC0将纸片翻折后，点 B恰好落在x轴# / 7上，记为B,折痕为 CE已知tan / 0B(1)求B点的坐标;(2)求折痕CE所在直线的解析式.例题：（1）如图，厂ABCD的对角线 AC0分别交AD BC于点E、F设FB交CD于点G, A Bi分别交CD DE于点H I。BD交于点0。EF过点0的直线EF折叠，点A落在点Ai处，点B落在点B处。求证：EI=FG。C国例题：（2012?德州）如图所示，现有一张边长为 4的正方形纸片 ABCD点P为正方形AD边上的一点（不 与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点
2、B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H,折痕为EF,连 接 BP、BH.（1）求证：/ APB2 BPH（2）当点P在边AD上移动时， PDH的周长是否发生变化并证明你的结论；（3） 设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式，试问 S是否存在最小值若存在，求 出这个最小值；若不存在，请说明理由.（备屈图）(2012?南宁)如图，已知矩形纸片 ABCD AD=2 AB=4.将纸片折叠，使顶点 A与边CD上的点E重合，折 痕FG分别与AB, CD交于点 G F, AE与FG交于点0.(1) 如图1，求证：A, G, E, F四点围成的四边形是菱形；(2) 如图2，当 AED的
3、外接圆与BC相切于点N时，求证：点 N是线段BC的中点；(3) 如图2，在(2)的条件下，求折痕 FG的长.解：(1)由折叠的性质可得，GA=GE / AGFM EGF,DC/ AB/ EFGM AGF/ EFGM EGF EF=EG=AG四边形 AGEF是平行四边形(EF/ AG EF=AG , 又 AG=GE四边形AGEF是菱形.(2)连接ON图2 AED是直角三角形，AE是斜边，点 0是AE的中点， AED的外接圆与BC相切于点N, ONL BC 点0是AE的中点， ON是梯形ABCE的中位线，点N是线段BC的中点.(3)作 OML AD在矩形 ABCD中，/ C=Z D=90 , 故A
4、E为厶AED的外接圆的直径. 延长MO交BC于点N,贝U ON CD 四边形MNC是矩形， MN=CD=4 ON=MN MOV_x,2 AED的外接圆与 BC相切， 0”是厶AED的外接圆的半径, 0E=0N=4 x, AE=8- x,2在 Rt AED中，AD+dE=A占,c222 2 +x = ( 8- x),得x=DE冷,0E=4-的位置，则点B CB的坐标为（丄I I 解得：2, FG=2F0.15故折痕FG的长是.15对应练习1. （2012?泰安）如图，在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交ADAC于点E、0,连接CE,则CE的长为（）顶点A在x轴上，/
5、 B=120 , 0A=2将菱形 0ABC3. （2012?泰安）如图，将矩形纸片 ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2, BC=3则厶FCB 与厶B DG的面积之比为（）4.如图，矩形ABC呼，E是AD的中点,将厶ABE沿 BE折叠后得到 GBE延长BG交 CD于F点，若CF=1, FD=2,则BC的长为5.矩形纸片ABCD勺边长AB=4, AD=2将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠 后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为（）（试题82页）6. （2010 山东潍坊）如图，直角梯形 ABCDK AB丄 BC, AD/ BC, BO AD, AD= 2, AB=
6、 4,点E在AB上，将 CBE沿CE翻折，使B点与D点重合，则/ BCE的正切值是. （89页）7. 梯形中的对角线（88页）8.如图，将正方形对折后展开（图是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半.这样的图形有【】(B)3 个(C)2 个(D)1 个(A)4 个9如图所示，把一长方形纸片沿,C的位置.若/ AMD = 36则/ NMI等于(A) 144(B) 126 MN折叠后，点D, C分别落在D(C)108(第10(D) 7210. 一副三角板按图1所示的位置摆放将厶DEF绕点A（ F）逆时针旋转60后（图2）,测得 则两个三角形
7、重叠（阴影）部分的面积为E2（A） 75cmCGIOcm,(B) (2525.3) cm?25 l 2(C) (25 一 J3) cm350 l(D) (25 一 3) cm3EB(F)如图（1），易证 EG=CG且EGLCG.（第8题）例题：在正方形ABCD的边AB上任取一点 图,1作EF丄AB交BD于点F,|图FD的中点 G 连结EG CQ （1 ）将 BEF 绕点B 逆时针 旋 转90,如 图（2）, 则线段 EG和 CG有怎样的数量关系和位置关系请直接写出你的猜想（2）将厶BEF绕点B逆时针旋转180,如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系请 写出你的猜想，并加以证明
8、.# / 7(2(2解(1) EG=CG EGL CG(2) EG=CG EGL CG 证明：延长 FE交DC延长线于 M连MG / AEM=90，/ EBC=90，/ BCM=90 四边形BEMC1矩形. BE=CIMZ EMC=90 又 BE=EF EF=CM/ EMC=90 , FG=DGFD=FG MG=/ BC=EM, BC=CD EM=CD/ EF=CM FM=DM/ F=45又 FG=DG/ CMG=/ EMC=45/ F=Z GMC GFEA GMCEG=CG, /FGE=ZMGC(2分）/ FMC=90 , MF=MD FG=DG MGL FD/ FGE+Z EGM=90/ MGC乂 EGM=90 即/ EGC=90EG丄CG （2 分）# / 7
