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1、第八章 巴拿赫空间上的有界线性算子 算子 线性算子 非线性算子 无界线性算子 有界线性算子1 有界线性算子1.1 有界线性算子的基本概念与性质 定义1.1 设及都是实（或复的）线性空间，是由的某个子空间到线性空间中的映射，如果对任意，有 则称是可加的。若对任意的实（或复）数及任意的，有 则称是齐次的。可加齐次的映射称为线性映射或线性算子。中使的元素的集合称为的零空间。 设是实（或复）数域，于是成为由到实（或复）数域的映射，这时称为泛函。如果还是线性的，则称为线性泛函。泛函或线性泛函常用等符号表示。定义1.2 设及都是实或复的赋范线性空间，为的子空间，为由到中的线性算子。如果按照第六章2.3定义
2、2.6，是连续的，则称为连续线性算子。如果将中任意有界集映成中的有界集，则称是有界线性算子。如果存在中的有界集使得是中的无界集，则称是无界线性算子。 例 1 将赋范线性空间中的每个元素映成自身的算子称为上的单位算子，单位算子常以表示.将中的每个元素映成的算子称为零算子. 容易看出，单位算子与零算子既是有界线性算子也是连续线性算子. 例 2 连续函数的积分 是定义在连续函数空间上的一个有界线性泛函，也是连续线性泛函. 例 1、例 2中出现的线性算子或线性泛函既是有界的又是连续的.对线性算子来说，有界性与连续性等价（见定理1.3）.定理1.1 设,都是实赋范线性空间，是由的子空间到中的连续可加算子
3、.则满足齐次性，因此是连续线性算子. 推论 设,都是复赋范线性空间，是由的子空间到中的连续可加算子，且，则满足齐次性，因此是连续线性算子.定理 1.2 设，都是赋范线性空间，是由的子空间到中的线性算子.则有界的充要条件是存在，使得对一切，有. 定理1.3 设，都是赋范线性空间，是由的子空间到中的线性算子.则下列性质等价： (i) 连续； (ii) 在原点处连续； (iii) 有界. 由此定理知，对线性算子来说，有界性、连续性以及在原点的连续性均相互等价.而且还可以证明：这三个等价条件也与在中任一给定的点处的连续性等价. 为了对有界线性算子进行更深入的讨论，我们将对它引进一个重要的量算子的范数.
4、 定义 1.3 设，都是赋范线性空间，是由的子空间到中的有界线性算子.使对一切都成立的正数的下确界称为的范数，记为.因是集合 的一个上界，因此算子的范数作为所有上界的下确界也是上述集合的一个上界，而且由定义知，是上述集合的最小上界，即上确界，亦即 由此容易导出下列结论： (i) 对一切，有. (ii) 现在举几个实例说明如何估计有界线性算子的范数及如何求出其范数. 例3 设为一给定的方阵，均为实数，由等式 定义了一个由到的算子：.它将元素映成元素.在中任取两个向量，由等式 可知，是可加的，类似地可以证明是齐次的，因此是线性算子，由柯西不等式，有 故有界，因此连续，且. 例 4 我们用表示定义在
5、上有界连续函数构成的集，其中的线性运算与空间的相同，在中定义范数如下： 则是一个巴拿赫空间. 设，令 是定义在上而值域包含在中的线性算子.再由 可知，有界因而连续，且. 例 5 在内插理论中我们往往用拉格朗日公式来求已知连续函数的近似多项式.设，在中任取个点，作多项式 其中.再令 则是由到其自身的有界线性算子，且范数满足 （4） 的线性是明显的.今证有界且等式（4）成立.令 那么 故 （5） 另一方面，由于在上连续，故存在使得 取满足：至于在中其它点处的值则可以任意，但绝对值不能超过1，并保证在上连续.于是 故 （6） 由不等式（5）、（6）可得等式（4）. 例 6 设是定义在上的连续实函数.在空间上定义如下的积分算子： 则为到其自身的有界线性算子，且范数满足 （7） 显然是到其自身的线性算子.今证有界且等式（7）成立.令 则 故有界且. 由于是的连续函数，故存在，使得 记.作函数 其中为与的距离，则于上连续，且.注意到为闭集，还有下列性质： 由勒贝格控制收敛定理，当时，有 于是 因此.若原，则令. 例 7 在连续函数空间中讨论微分算子.将在上连续可微函数构成的集作为的定义域，则是定义在上，并在中取值的线性算子.我们证明无界. 取，则，但 （当时）故将中的单位球面映成中的无界集.无界.
