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1、1.3.2极大值与极小值明目标、知重点1.了解函数极值的概念，能从几何方面理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及函数在某一点取得极值的条件.3.掌握用导数的方法求函数的极值1极值的概念极大值如图，函数yf(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb处附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0f(x)0f(x)增()极大值f(x1)极小值与导数之间的关系xx2左侧x2f(x)f(x)0f(x)0f(x)减()极小值f(x2)x1右侧(x)0增()情境导学在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题但函数在定义域内某一点附近，也存
2、在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题？又如何求出这些值？这就是本节我们要研究的主要内容1探究点一函数的极值与导数的关系思考1如图，表示高台跳水运动员的高度随时间变化的函数h(t)4.9t26.5t10的图象，观察发现，ta时，高台跳水运动员距水面的高度最大那么，函数h(t)在此点的导数是什么？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？答函数h(t)在点ta处h(a)0.在ta的附近，当t0；当ta时，函数h(t)单调递减，h(t)0.思考2如图观察，函数yf(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近
3、的函数值有什么关系？yf(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，yf(x)的导数的符号有什么规律？答以d、e两点为例，函数yf(x)在点xd处的函数值f(d)比它在点xd附近其他点的函数值都小，f(d)0；在xd的附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0.思考3函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？答函数的极大值与极小值并无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值；在区间内可导函数的极大值或极小值可以不止一个思考4若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明答不一定可导函数的极值点处导数为零，但导数值为零的点不一定是极值点可导函数f(x)
4、在x0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在x0两侧f(x)的符号不同例如，函数f(x)x3可导，且在x0处满足f(0)0，但由于当x0时均有f(x)0，所以x0不是函数f(x)x3的极值点13例1求函数f(x)3x4x4的极值解f(x)x24.解方程x240，得x12，x22.由f(x)0，得x2；由f(x)0，得2x2或x2时，()0；fx当2x2时，f(x)0.所以，f(x)的单调递增区间为(，2)和(2，)；单调递减区间为(2，2)当x2时，f(x)有极大值542；当x2时，f(x)有极小值542.由(1)的分析知yf(x)的图象的大致形状及走向如图所示所以，当542a542时，直线y
5、a与yf(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)a有三个不同的实根反思与感悟用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数跟踪训练3若函数f(x)2x36xk在R上只有一个零点，求常数k的取值范围解f(x)2x36xk，则()6x26，fx令f(x)0，得x1或x1，可知f(x)在(1,1)上是单调减函数，f(x)在(，1)和(1，)上是单调增函数f(x)的极大值为f(1)4k，f(x)的极小值为f(1)4k.5要使函数f(x)只有一个零点，只需4k0(如图所示)或即k4.k的取值范围是(，4)(4，)1“函数yf(x)在一点的导数值为0”是“函数yf(x)在这点取得极值”的_条件答案必要不充分解析对于f(x)x3，f(x)3x2，f(0)0，不能推出f(x)在x0处取极值，反之成立2下列函数存在极值的是_(填序号)y1；yxex；yx3x22x3；yx3.x答案解析中()12，令()0无解，fxxfx中函数无极值中f(x)1ex，令f(x)0可得x0.当x0，当x0时，f(x)0.yf(x)在x0处取极大值，f(0)1.中()3x22x2，424200.fxyf(x)无极值也无极值3已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为_答案6a解析f(
