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1、直线与椭圆（教师版）知识与归纳：1点与椭圆的位置关系x 2y 2x 2y 2x 2y 2点P（xo,yo）在椭圆一 +=1内部的充要条件是亠+亠 1 ；00a 2 b 2a 2 b 2a 2b 2x 2y 2在椭圆上的充要条件是at+在=1 2直线与椭圆的位置关系.x 2 y 2 设直线l：Ax+By+C=O,椭圆C：+p = 1，联立I与C,消去某一变量（x或y）得到关于另一个变量的一元二a 2 b 2次方程，此一元二次方程的判别式为4则丨与C相离的O A0.3弦长计算计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P1（xi , yi） , P2（x2 ,1y2）=ipf J（t
2、 _x 2）2+（亍y 2）2 =小+k 2片x J=十+花iy1 - y 21仗为直线斜率）形式（利用根与系数关系（推导过程：若点A（x1,人），B（x2, y2）在直线y = kx + b（k丰0）上，则y1二kx1 + b, y2二kx2 + b，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一, |AB| = -(x -x )2 + (y -y )2 = (x -x )2 + (kx -kx )2 = (1+ k2)(x -x )21212*121212= f(l+k 2)( x1+ x )2 - 4x x 2 1 2或者 I AB=p(x1 - x2)2 + (y1 - y2)2 = G
3、1 1x1_kx2)2 + (人-y2)2 =：(1+込)(J y2)2=J（1+T）（y + y ）2 - 4y y 。）k 2121 2一，直线与椭圆的位置关系x 2 y 2例题1、判断直线kx - y + 3 = 0与椭圆侯+宁=1的位置关系164y = kx + 3解：由 徳叹 或k - 时，直线kx - y + 3 = 0与椭圆石7 + 7 = 1相交441642)当&二 16(16k 2 - 5)二 0即 k 二x2 y 2直线kx - y +3 = 0与椭圆+ 丁 = 1相切55x 2y 2当 二16(16k 2 - 5) 0即-亍k 计时直线kx - y+3=0与椭圆16+才=
4、1相离x2y2例题2、若直线y =应+1(k -R)与椭圆了+不=1恒有公共点，求实数血的取值范围解法y = kx +1由 0 即 m 5k 2 +1 1+ = 1 ，、5 m解法二：直线恒过一定点(0,1) 当m 1即1m 5时，椭圆焦点在y轴上，长半轴长a =、启可保证直线与椭圆恒有交点即m 5综述：m 1且m丰5解法三：直线恒过一定点(0,1)0 2 12要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点(0,1)在椭圆内部w +1即m 15mm 1且m 丰 5评述由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接导致两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决 定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直
5、线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二 次方程9(1 )直线与椭圆相交oA 0 (2)直线与椭圆相切oA = 0 (3)直线与椭圆相离oA 0，所 以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具。或者可首先判断直线是否过定点，并且初定定 点在椭圆内、外还是干脆就在椭圆上，然后借助曲线特征判断：如例2 中法二是根据两曲线的特征观察所至；法x 2 y 2三则紧抓定点在椭圆内部这一特征：点M(x , y )在椭圆内部或在椭圆上则 + - 1 o oa 2b2二、弦长问题x2 y2例3、已知椭圆亍+ 1 = 1的左右焦点分别为Fj,F2，若过点P(0,-2)及Fj的直线交椭圆
6、于A,B两点，求/abf2的面积解法一：由题可知：直线1AB方程为2 x+y + 2 = 0y = -2 x - 24、10+ 2! = 1 可得 9 y2 + 4 y 一 4 = 0 ,叽y J =(人 + y 2)2 一 4人 y 2 = I 2 丁 SA二 2 F1F2 忆- y 2 4J104j5解法二：F2到直线AB的距离h二-yy = 一2 x - 2y 2可得 9 x 2 +16 x + 6 = 0，又 |AB| = y1 + k 2I+ = 1|I 21 ioj24 do9 1评述在利用弦长公式IAB =禺+k2|x1 -xJ珂1+花|y1 -yJ （k为直线斜率）或焦（左）半
7、径公式 AB =件| + PF I = a + ex1 + a + ex? = 2a + 2e（x】+ x?）时，应结合韦达定理解决问题。兀例题4、已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点F1作倾斜解为亍的直线交椭圆于 A，B两点，求弦AB的长.分析：可以利用弦长公式AB =弋1 + k2 x1xJ = （1 + k2）（x1+x2）2 4x1 x2求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求解：（法 1）利用直线与椭圆相交的弦长公式求解|AB| = J1 + k2|x1xj = J(1+k2)(x+x2)2 4丫2 因为a = 6, b = 3，所以c =
8、 33 因为焦点在x轴上,所以椭圆方程为g+*=1，左焦点尸（-3爲，0），从而直线方程为y=品+9 l72 ,3由直线方程与椭圆方程联立得：13x2 + 72、：3x + 36x8 = 0 设x1， x2为方程两根，所以x1+x2 = 13x1 x2=，k = 3从而 | AB | =、1 + k248x -x | =訂(1 + k2)(x + x )2 -4x x =1 、 1 2 1 2 13（法2）利用椭圆的定义及余弦定理求解.由题意可知椭圆方程为36 +晋=1，设|AF| = m,|BF| = n，则 |AF I = 12 m , |BF | = 12 n .在 AAF1F 中，|
9、A I2 = | AF 卩 + F2 - 2| AF| F、F丄 乙乙JL丄 乙丄丄 乙12兀1cos ，即(12- m)2 = m2 + 36 - 3 - 2 - m- 6、，3 -32所以m =同理在ABF1F2中，用余弦定理得n = 4+3，所以AB = m + n =一、求中点弦所在直线方程问题x2y 2例1过椭圆16 + 4 = 1内点M (2, 1)引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程16 4解法一：设所求直线方程为y-1二k(x-2),代入椭圆方程并整理得：(4k2 +1)x2 - 8(2k2 - k)x + 4(2k -1)2 -16 二 0又设直线与椭圆的交点为a
10、(片,yi)，b(x2,y2)，则x1,x2是方程的两个根，于是 8(2k2 - k)x + x =124k 2 + 1 x + x4(2k 2 一 k)宀又M为AB的中点，所以1 2 2 =4 = 2,24k 2 1解得k = -2，故所求直线方程为x 2 y 4 = 0。解法二：设直线与椭圆的交点为a( x1，y1),所以 x1 x 2 = 4,y1y2=2B(x2,y2)，M (2, 1)为 AB 的中点,又A、B两点在椭圆上，则x12 4y12 =16, 两式相减得(x12 x 22) 4( y12 y 22) = o,x x 1=一一即 k2，即 ABy - y所以一24(丄)x -
11、 x 4( y y )1 2 1 2故所求直线方程为x2 y 4 = 0。x 2 4y 2 =16，22一 12，解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x, y)，由于中点为m(2，1)，则另一个交点为 B(4- x ,2 y )，fx 2 4 y 2 = 16因为A、B两点在椭圆上，所以有(4 x)2 4(2 y )2 = 16 两式相减得x 2y 4 = 0， 由于过A、B的直线只有一条， 故所求直线方程为x 2 y 4 = 0。二、求弦中点的轨迹方程问题x 2 y 2例2过椭圆64 菲=1上点p(-& o)作直线交椭圆于Q点，求pq中点的轨迹方程解法一：设弦 PQ 中点 M( x,y)
12、，弦端点 P(x1,y1)，Q(x2,y2)则有9罟 +1：晋5；6，两式相减得 9( x12 x 22)16( y12 y 22) = 0, 9x 2 16y 2 =5761212又因为x x = 2x，y y = 2y，所以9-2x(x x ) 16-2y(y y ) = 0,y y所以亠2x x12而kpQ1 2 1 2 1 2 1 2上L故竺=丄x (8)，故 16y x 8化简可得 9 x2 72 x 16 y2 = 0( x 8)解法二：设弦中点M (x, y), Q (片,yi)y =今可得xix 2 y 24(x + 4)24y 2又因为q在椭圆上，所以64+36 =1，即64
13、+3歹=1 -(x + 4)2 y 2 所以PQ中点M的轨迹方程为飞 +亍=1(x鼻-8)。三、弦中点的坐标问题例3求直线y = x -1被抛物线y2 = 4x截得线段的中点坐标。解：解法一：设直线y = x-1与抛物线y2 = 4x交于A(x yi)， B(x y丿，其中点p(x0,yo)，由题意JLJL乙1乙1UU,J y = x -1 得 1 y 2 = 4 x，消去 y 得(x - 1)2 = 4x，即 x2 - 6x + 1 = 0，x + x所以 x0 =y- = 3，y 0 = x0 一 1 = 2即中点坐标为(3,2)解法二：设直线y = x-1与抛物线y2 = 4x交于A(x y1)， B(x y丿，其中点p(x y，由题意得JLJL乙乙UUy2=4x1, 1，两式相减得 y 22- y12 = 4( x2 x1)，y 2 = 4 x212122所以(y y )(y + y )2 12 1 x - x 21所以y1 + y2 = 4，即y0 = 2
