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1、2013福建卷(理科数学)1 已知复数z的共轭复数z12i(i为虚数单位),则z在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限1D解析 z12i,对应的点为P(1,2),故选D.2 已知集合A1,a,B1,2,3,则“a3”是“AB”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件2A解析 当a3时,A1,3,AB;当AB时,a2或a3,故选A.3 双曲线y21的顶点到其渐近线的距离等于()A. B. C. D.3C解析 取一顶点(2,0),一条渐近线x2y0,d ,故选C.4 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分成
2、6组:40,50),50,60),60,70),70,80),80,90),90,100加以统计,得到如图11所示的频率分布直方图已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为()图11A588 B480 C450 D1204B解析 成绩在40,60)的频率P1(0.0050.015)100.2,成绩不少于60分的频率P210.20.8,所以成绩不少于60分的学生人数约为6000.8480人,故选B.5 满足a,b1,0,1,2,且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a,b)的个数为()A14B13C12D105B解析 当a0时,2xb0x,有序数对(
3、0,b)有4个;当a0时,44ab0ab1,有序数对(1,b)有4个,(1,b)有3个,(2,b)有2个,综上共有443213个,故选B.6 阅读如图12所示的程序框图,若输入的k10,则该算法的功能是()图12A计算数列2n1的前10项和B计算数列2n1的前9项和C计算数列2n1的前10项和D计算数列2n1的前9项和6A解析 S0,i1S1,i2S12,i3S1222,i4S122229,i1110,故选A.7 在四边形ABCD中,(1,2),(4,2),则该四边形的面积为()A. B2 C5 D107C解析 1(4)220,面积S|5,故选C.8 设函数f(x)的定义域为,x0(x00)是
4、f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是()Ax,f(x)f(x0)Bx0是f(x)的极小值点Cx0是f(x)的极小值点Dx0是f(x)的极小值点8D解析 根据极值点是函数局部的性质可排除A选项,根据函数f(x)的图像与f(x)、f(x)、f(x)的图像分别关于y轴、x轴、原点对称,可排除B、C选项,故选D.9 已知等比数列an的公比为q,记bnam(n1)1am(n1)2am(n1)m,cnam(n1)1am(n1)2am(n1)m(m,n),则以下结论一定正确的是()A数列bn为等差数列,公差为qmB数列bn为等比数列,公比为q2mC数列cn为等比数列,公比为qm2D数列cn为等比数列,公
5、比为qmm9C解析 取an1,q1,则bnm,cn1,排除A,取a11,q1,m取正偶数,则bn0,排除B,qmqmqm,sdo4(共m个)qm2,故选C.10, 设S,T是的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数yf(x)满足:(1)Tf(x)|xS;(2)对任意x1,x2S,当x1x2时,恒有f(x1)f(x2),那么称这两个集合“保序同构”以下集合对不是“保序同构”的是()AA,BBAx|1x3,Bx|x8或0x10CAx|0x1,BDA,B10D解析 函数f(x)为定义域S上的增函数,值域为T.构造函数f(x)x1,x*,如图,则f(x)值域为,且为增函数,A选项正确;构造函数f(x
6、)如图,满足题设条件,B选项正确;构造函数f(x)tanx,0x1,如图,满足题设条件,C选项正确;假设存在函数f(x),f(x)在定义域上是增函数,值域为,则存在a0”发生的概率为_11.解析 ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1,则该椭圆的离心率等于_14.1解析 如图,MF1F2中,MF1F260,MF2F130,F1MF290,又|F1F2|2c,|MF1|c,|MF2|c,2a|MF1|MF2|cc,得e1.15, 当x,|x|E(3X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大方法二:(1)由
7、已知得,小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,且两人中奖与否互不影响记“这两人的累计得分X3”的事件为A,则事件A包含有“X0”“X2”“X3”三个两两互斥的事件,因为P(X0),P(X2),P(X3),所以P(A)P(X0)P(X2)P(X3),即这两人的累计得分X3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1,都选择方案乙所获得的累计得分为X2,则X1,X2的分布列如下:X1024PX2036P所以E(X1)024,E(X2)036.因为E(X1)E(X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大17 已知函数f(x)xaln x(a)(1)当a2时,求曲线
8、yf(x)在点A(1,f(1)处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值17解:函数f(x)的定义域为(0,),f(x)1.(1)当a2时,f(x)x2lnx,f(x)1(x0),因而f(1)1,f(1)1,所以曲线yf(x)在点A(1,f(1)处的切线方程为y1(x1),即xy20.(2)由f(x)1,x0知:当a0时,f(x)0,函数f(x)为(0,)上的增函数,函数f(x)无极值;当a0时,由f(x)0,解得xa.又当x(0,a)时,f(x)0,从而函数f(x)在xa处取得极小值,且极小值为f(a)aaln a,无极大值综上,当a0时,函数f(x)无极值;当a0时,函数f(x)在xa处取得
9、极小值aaln a,无极大值18, 如图15所示,在正方形OABC中,O为坐标原点,点A的坐标为(10,0),点C的坐标为(0,10)分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2,A9和B1,B2,B9,联结OBi,过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(i,1i9)(1)求证:点Pi(i,1i9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E的方程;(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M,N,若OCM与OCN的面积比为41,求直线l的方程图1518解:(1)方法一:依题意,过Ai(i,1i9)且与x轴垂直的直线方程为xi,Bi的坐标为(10,i),所以直线OBi的方程为yx.设Pi的坐标为(x,y),由得yx2,即x210y.所以点Pi(i,1i9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程为x210y.方法二:点Pi(i,1i9)都在抛物线E:x210y上证明如下:过Ai(i,1i9)且与x轴垂直的直线方程为xi,Bi的坐标为(10,i),所以直线OBi的方程