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1、第12章 常微分方程函数是反映客观事物内部变量之间联系的重要概念，如何寻求函数关系在理论上及实践上都具有重要意义在实际问题中往往不容易找出所需求的函数关系，而只能获得所需的函数与其导数（或微分）之间的关系式，这就是所谓的微分方程本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用的微分方程的解法1 微分方程的基本概念一、微分方程的概念下面通过两个具体例题来说明微分方程的基本概念例1 一曲线通过点，且在该曲线上任一点处的切线斜率为，求此曲线的方程解 设所求曲线的方程为，根据导数的几何意义可得 （1）两边积分得 （2）又因为曲线通过点，因此未知函数还应满足条件： 时， （3）将条件代入式可得，解得，所求曲
2、线方程为 （4）例2 列车在平直线路上以速度行驶，当制动时列车获得加速度，问开始制动后多长时间列车才能停住，列车在这段时间里行驶了多少路程？解 设列车在开始制动后秒时行驶了米根据题意，列车在制动阶段的运动规律函数应满足关系式 （5）把（5）式两端积分一次可得 ， （6）再积分一次可得 ， （7）其中，都是任意常数由已知条件满足下列条件时，（8）把条件（8）代入（6），（7）式可得，再把，的值代入（6），（7）式可得，列车停止行驶时，由此可得列车从开始制动到完全停住所需的时间，从而可得列车制动阶段行驶的路程为上述两个例子中（1）式和（5）式都是含有未知函数导数的方程定义1 含有自变量、未知函数以
3、及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程当未知函数是一元函数时称为常微分方程，未知函数是多元函数时称为偏微分方程例如，都是微分方程，前四个是常微分方程，最后一个是偏微分方程本章只讨论常微分方程，故以后所说的微分方程（简称为方程）均是指常微分方程定义2 微分方程中出现未知函数的导数（或微分）的最高阶数称为微分方程的阶例如，都是一阶微分方程，是二阶微分方程，是五阶微分方程阶数大于1的微分方程称为高阶微分方程，阶微分方程的一般形式为(9）这里是个变量的函数，其中一定要出现定义3 如果阶微分方程可表为如下形式，（10)其中为已知函数，则称之为阶线性微分方程（简称为线性方程）例如，都是线性方程不是线性方
4、程的微分方程称为非线性微分方程（简称为非线性方程）例如，都是非线性方程二、微分方程的解定义4 设函数在区间上有直到阶的导数，如果把及其各阶导数代入微分方程式(9）后，能得到区间上的一个恒等式，则称是微分方程式(9）在区间上的一个解如果由隐式方程所确定的函数是方程式(9）的解，则称为方程式(9）的隐式解为了简单起见，以后我们不把解和隐式解加以区别，统称为方程的解由定义4可以可以直接验证：函数是方程在区间上的解，其中是任意常数函数是方程在区间上的解，其中 和是任意常数定义5 如果阶微分方程式(9）的解中含有个独立的任意常数，即，则称它为方程的通解，通解的隐式表达式称为通积分如果方程的解中不包含任意
5、常数，则称它为方程的特解，而由隐式表示的特解称为特积分注是微分方程(9）的通解，并不表示包含了该微分方程的所有解三、初值问题由于微分方程的通解中含有任意常数，所以它实际上表示的是一族解要完全确定地反映客观事物运动的规律性，必须确定这些常数的值因此要根据问题的实际情况，提出确定这些常数的条件，也就是对微分方程的解附加一定的条件，通常称之为定解条件常见的定解条件为初值条件（或初始条件），求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解一阶微分方程的初值问题记作（11)一般阶微分方程的初值问题可表示为（12)因为柯西首先研究了微分方程的初值问题，所以初值问
6、题也常称为柯西问题例 验证是微分方程的解，并求满足初始条件的特解解 ，则，把它们代入所给方程可得左边右边所以是所给方程的解把初始条件代入解及中可得因此满足初始条件的特解为四、积分曲线为了便于研究方程解的性质，我们常常考虑解的图像满足（11)式的函数在平面上画出的是一条通过点的曲线，称为方程过点的积分曲线而方程的通解的函数图像是平面上的一族曲线，称为积分曲线族例如方程的通解是平面上的一族抛物线，而是过点的一条积分曲线习题 12-11指出下列微分方程的阶数，并辨别其是否为线性方程：(1) (2) （3）（4）（5）（6）2指出下列函数是否为相应微分方程的解：(1)(2) （3）（4）3在下列各题中
7、，确定函数关系式中所含的常数，使函数满足所给的初始条件：(1)(2)2 一阶微分方程一阶微分方程的一般形式为，我们仅讨论已解出导数的一阶微分方程，即形如(1)的方程这种方程有时也可写成如下的对称形式：(2)在方程(2)中，变量与对称，它即可看作是以为自变量为未知函数的方程（这时），也可看作是以为自变量为未知函数的方程（这时）下面介绍几种简单的基本类型的一阶微分方程的解法一、变量可分离方程定义1 形如（3）或（4）的方程称为变量可分离方程其中都是的连续函数这种方程的特点是可以把变量与进行分离后再求解下面以方程（3）为例来说明它的求解方法若，用乘以（3）式两边得，两边积分得（5）此式中积分常数已单
8、独写出，两个不定积分均表示某一确定的原函数，而非原函数全体在本章中，我们约定都这样做，以明示通解中所含独立的任意常数及其个数若和分别是和的某一确定的原函数，则（3）式的通解可记作（6）此外，若有解，即若存在使得，则容易验证也是微分方程（3）的一个解一般情况下这个解往往不包含在通解（5）的表达式中，解题时要注意把它另外补上，不要漏掉例 解方程解 这是变量可分离方程，当时分离变量得，两边积分得这里积分常数记为是为了便于下面对通解表达式的化简化简上式即可得通解为此外也是原方程的解（它不包含于通解中）例 求微分方程满足初值条件的特解 解 这是变量可分离方程，分离变量得，两边积分得由可得，因此所给微分方
9、程满足初值条件的特解为例 在某池塘内养鱼，鱼的尾数是时间的函数，其变化率与鱼尾数及成正比已知在池塘内放养鱼尾，个月后池塘内有鱼尾，求放养个月后池塘内鱼尾数的函数表达式及放养个月后鱼的尾数解 由题意可得鱼尾数满足如下微分方程，这里为比例常数，且满足条件，此方程为变量可分离方程，分离变量后可得即，两边积分得将，代入可得，故有，再将，代入可得，故所求函数表达式为当时得，即放养六个月后池塘内有鱼尾二、齐次方程定义2 形如（7）的方程称为齐次方程，这里是的连续函数齐次方程可通过适当的变量替换化为变量可分离方程，具体解法如下：对方程（7）作变量代换，令，视为新的未知函数，仍为自变量由于，代入（7）式，原方
10、程化为，这是变量可分离方程，当时，分离变量并两边积分得，（8）求出（8）式左端的原函数，将代入即得齐次方程（7）的通解为如果存在使得，则也是齐次方程的解例4 解方程解 这是齐次方程令，将代入原方程，并分离变量得，两边积分得，将代回原方程，化简便得所求通解另外，由，即，可得也是原方程的解，但它已包含于通解中（时）三、一阶线性方程定义3 形如 （9）的方程称为一阶线性方程，其中均为的连续函数当时，方程（9）变为(10)称为一阶线性齐次方程；如果不恒等于零，则方程（9）称为一阶线性非齐次方程方程(10)也称为方程（9）所对应的线性齐次方程由于方程(10)是变量可分离方程，所以当时，方程可化为，两边积
11、分得，为任意常数即为方程(10)的解又由于也是该方程的解，所以方程的通解可记为，为任意常数，（11）这就是一阶线性齐次方程的通解公式用常数变易法可求得非齐次方程（9）的通解公式定理1 方程（9）的通解为 （12)证将方程(10)的通解（11）式中的常数变易为待定的函数，即令（13)为方程（9）的通解，其中待定为确定，将（13)代入（9）式得，化简得，即积分后得将此式代入（13)式，即得通解公式（12)证毕注1在一阶线性方程的通解公式（12)中含有三个不定积分，它们都分别表示一个确定的原函数，而不是原函数全体注2上面讨论的是关于的一阶线性方程有时我们也可以将视为自变量，将视为未知函数得到关于的一
12、阶线性方程（14）与通解公式（12)相对应，方程（14）的通解公式为(15)例5 解方程解 应用一阶线性方程的通解公式，例6 解方程解 原方程不是未知函数的一阶线性方程，但它可以改写为，即这是关于的一阶线性方程，应用通解公式(15)得例7 求解伯努利方程 （）解 伯努利方程可以通过变量代换化为一阶线性方程，其具体解法如下当时，将方程两端同除以得，令，有，代入方程得这是一个一阶线性方程，可直接应用公式（12)求解得，再代回原变量，可得伯努利方程的通积分（16）当时，方程还有解例8 求方程的通解解法1 这是一个伯努利方程，其中，直接应用公式（16）得此外，方程还有解解法2 这是一个伯努利方程，其中，两边同除以得令，代入上式并化简得这是一个一阶线性方程，应用通解公式（12)得，此时原方程的通解
