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1、第二章 连续时间系统的时域分析 2-1弓I言线性连续时间系统的时域分析，就是一个建立和求解线性微分方程的过程。一、建立数学模型主要应用电路分析课程中建立在KCL和KVL基础上的各种方法。线性时不变系统的微分方程的一般形式可以为：*dtnr(t)an -1dndtn_1r(t).qr(t) a0r(t)d md md仏丽弾)bmdtt)，5e(t) be二、求解（时域解）1、时域法将响应分为通解和特解两部分：1）通解：通过方程左边部分对应的特征方程所得 到的特征频率，解得的系统的自然响应（或自 由响应）；2）特解：由激励项得到系统的受迫响应；3）代入初始条件，确定通解和特解中的待定系数。经典解法
2、在激励信号形式简单时求解比较简单，但是激励信号形式比较复杂时求解就不容易， 这时候很难确定特解的形式。2、卷积法（或近代时域法，算子法） 这种方法将响应分为两个部分，分别求解： 1）零输入响应：系统在没有输入激励的情况 下，仅仅由系统的初始状态引起的响应 rzi（t） ；2）零状态响应 : 状态为零（没有初始储能） 的条件下，仅仅由输入信号引起的响应 rzs（t）。系统的零输入响应可以用经典法求解，在其中只有自然响应部分；系统的零状态响应也可以用经典法求解，但是 用卷积积分法更加方便。借助于计算机数值计 算，可以求出任意信号激励下的响应 （数值解） 卷积法要求激励信号是一个有始信号，否则无法确
3、定初始状态。零输入响应与自然响应、零状态响应与受迫响 应之间并不相等，具体对比见2-9经典法在高等数学中已有详细介绍。本课程 中重点介绍近代时域法。 2-2 系统微分方程的算子表示一、算子通过微分算子可以简化微分方程的表示。dn dn微分算子：令P二石，p =_df，1t积分算子：；（）=（）d利用算子可以将电路中的电感和电容的伏安特性记为：Ul =LdkdtP IIgw即可以将电感和电容记成阻值为L p和订的电阻即感抗和容抗。利用算子可以将线性时不变系统的微分方程:dtnr(t) an_!dn-1dtn_1r(t)计t)aor(t)dmdmd=bm-me(t) bm_ie(t)b e(tr
4、be(t) dtdtdt表示为:Pnr(t) an_iPnr(t)dpr(t) ar(t)二 bmPme(t) bm_ipZe(t)dpe(t) be(t) 按照代数运算法则，提取公因子，可以将上式简 化为：(pn an_iPn aiP a)r(t)二(bmPm ，心Ep bo)e(t)或进一步简化为：(bmPm 口一沖宀EP b。)r(t) 一ne(t)(p +a np +.+ aip+ a。)定义：H(p) = (bPm bmipg biP b。)N(p)(pn an_ipZ aiP a。)D(p)则：r(t) = H(p)e(t)注意上面只是微分方程的一种简单记法，并 不代表能进行这样的
5、计算。二、算子运算法则1、mp np = (m n)p，其中 m,n为任意常数。2、 pmpn二pm n,其中m,n同为任意正整数(或 负整数)。13、P_ X = X，p但是：11) p px不一定等于X 微分和积分的次序不能交换：plx3xdxp dt -但是:1 px 二p:聲J 八即，11p x pxpp2)如果px(t)二py(t),不一定能够推出x(t)二 y(t)，只能得到 x(t)二 y(t) C ,即等式两边的公共因子不能抵消。可见，大部分代数运算法则可以使用，但是有一些不能用。 2-3 系统的零输入响应零输入响应是下列齐次方程的解：D(p)r(t) = (pn an_ipn
6、 印卩 a)r(t)二 0对它有两种解法：1) 经典解法2) 等效源法(或初始条件法)一、经典解法用经典法求解零输入响应由如下两步构成：1、确定系统的自然频率：令D(p)=0，将 p看成一个代数量，解得其 n个特 征根 1, 2,，n。2、确定零输入响应的形式解：1) 如果D(p)=0俱为单根时，则可以确定其形式 解为：*(t)二 Cie ltC2e 2t C“e nt 二 Ge讯i=1其中CiG,Cn为待定常数。2)如果D(p)=O有重根时，假设i是一个k重根，则形式解为:rzi(t)二 CieMtC2te itCst2e亠C e Ck ie7 k 龜 +Cn entkn八 Citi_iei
7、t -Cie iti Ti =kihit + C t ket即，1 二，2 =k，3、根据初始条件，确定待定系数:一般的初始条件为已知零时刻的响应及其各阶导数 r(O),r(O),r(O),.,r(T(O)，代入形式解中就可以确定待定系数。当D(p)=0俱为单根时：r(0) = Ci C2 Cnr(0)= iG2 nCnr(0)2G22C2 n2Cn-(i)C nr(nT)(o)= i(n-i)C 厂叱厂 由上面的n个方程就可以确定n个待定系数 或者记为矩阵形式:r(0)1r(0) r(0)二1C1. IIC InC2nS C3一严)_nn_1n -1nn -1n-II -其它形式的初始条件，
8、以及特征方程中有重 根的情况下的待定系数也可以用相似的方法和过 程解出。举例:例1 .已知系统的转移算子及未加激励时的初始条件是:P 3p2 3p 2,r 0 - 1,0。b)(r)任意函数乘以(t)以后，其t0。冲激函数有很多种定义方法。常见的有两种：d1)定义为(t)的导数:(t)二二；(t)dt显然，该函数只在t=0处为非零值，其它各 处都为零；;(t)和(t)互为微分和积分t；(t)二 ()d(t)的几个特性：+0J ( )d ； : ( ) = 0,1 0 时。(t)八(-t)冲激函数是一个偶函数(t)f(t)(t)f(0)，或：(t-t)f(t)(t-to)f(t)_ f(t) (
9、t)dt 二 f(0)Od或：f (t) (t - t)dt = f (t。)该特性被称为冲激函数的取样特性2)定义为分配函数这是冲激函数的另外一种定义方法，它通过该函数对另外一个函数的作用来定义这个函数，利用上面的冲激函数的抽样特性作为冲激函数的定义，即：对于任意的函数 f(t),使满足公式：f(t) (t-t)dt = f(t。)oO性质的函数被称为冲激函数。参见本章附录。这种定义在数学上比较严格，但是难于理解。冲激函数的推广：冲激偶Jsf0)J(4)111D21T12*)07(a)矩形脉冲的导数(b)草位冲激偶举例：例 1.计算 f t = 3t T1 - t解：由于(t)= (-t) , (t-to)f(t)= (t-to)f(to),则有:(3t 1) (1-t)(3t 1)- t-1- (3t 1)t- 1 二 4 t-1qQ例 2 .计算 f t = cos t 2-2t dt解:由于：f(t)、(t)dt 二 f(0)，则有:-O0qQqQcos二 t (2 - 2t)dt 二 cos二 t -2(t - 1)dt 二-cO例3.QOrncos3t-oO4J_oQ计算t dt。解:QO(JI 、(ji 、
