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1、2.4.2 抛物线的简单几何性质(二)课前自主评估i. 若抛物线y2=2px的焦点与椭圆手+号=1的右焦点重合，则p的值为()A2B2C4D4解析抛物线y2 = 2px的焦点坐标为,0)，椭圆X6 +号=1的右焦点坐标为(2,0), 由题意可得p = 2，得p = 4.2.若过抛物线y2=2px(p0)的焦点作一条直线交抛物线于A(x1，y1), B(x2, y2),贝疔的值为()A. 4B.4C. p2D.p2答案 B解析特例法当直线垂直于x轴时，A(p , p) , B(2 ,4.3.直线y=kxk与抛物线y2=2px(p0)的公共点个数是()A. 1B. 2C. 1 或 2D.可能为 0
2、答案 C4.已知AB是抛物线y2=4x的焦点弦，其端点A, B坐标分别为g, y1), (x2, y2)且满足x1+x2=6,则直线AB的斜率为(1A. 2）C. 1答案 C2p解析.X + x? = 6, p 2 ,.IABI = X + x? + p = 6 + 2 = 8.又IABI 二 $迅2幺（ 为焦点弦倾斜角）,sin22p 41 .二亞IABI 8 2.-Sina 2 AB 的斜率为 1 或1.探究一：抛物线的弦长问题典例1若线段?2为抛物线C : y2二2px(p )的一条焦点弦，F为C的焦点，求证:1 1 2+二一PF P F p1 2证法一：FOf，)，若过F的直线即线段P
3、P2所在直线斜率不存在时,则有 |p F| = PF = p11+PF PF1 2112= + =ppp若线段Pip所在直线斜率存在时设为k，则此直线为：y = k（X -評丰0）且k2 p2k2x2 - p(k2 + 2)x +4 = 0 x + x = p(k2 + 2) i2k2p2x - x =-i 242 = xi + 2，弋 PJ = xi+ x 2 + PIIPF -卜PF-Li21PFl2 1PFiPF2PFi根据抛物线定义有：则x +x + p12-222x +x +p12pp 2x x +(x + x ) +I 22-请将代入并化简得：PF1PF2变式训练1已知顶点在原点,
4、焦点在y轴上的抛物线被直线1 =截得的弦长为，求此抛物线方程.in）U2）解:设直线与抛物线交于 ,设抛物线的方程为x2 =，与直线=0x -px+p = 0 工I工之=p 工1 工茫=p联立，消去y得，则.,化简可得或-2只有过焦点的弦总结：抛物线的弦长问题主要分过焦点的弦长和不过焦点的弦长, 才可套用焦半径公式，否则只能套用弦长公式。 探究二：抛物线的弦中点问题 典例2已知抛物线y2=2x,过点Q（2, 1 ）作一条直线交抛物线于A, B两点，试求弦 AB 中点的轨迹方程.解：设弦 AB 的中点 M (x, y), A (xi，yi), B (x2，y2), 则有 =2x，X=2x2. 当
5、 kAB 存在时，有：=Vyi+yp=2y,ABx -x y +y 121 2 1 2:.f = /. k =又 k = kMQ=kAy : =y2-x-y+2=0(ymx -x y AB ymq x-2 MQ AB y x-21 2 当kAB不存在时，直线方程为x=2.此时M (2, 0),它也满足y2-x-y+2 =0.弦AB中点的轨迹方程为y2-x-y+2=0.总结：关于抛物线的弦中点问题主要是两种解法由直线与抛物线联立借助韦达定理求解利用“作差法” 求解,在解题中往往借助“作差法”能大大简化运算。变式训练2若直线y = kx-2与抛物线y2 = 8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为
6、2,求此直线方程f y 二 kx - 2解法一：设 A(x, y )、B(x , y )，则由：可得：k2x2 - (4k + 8)x + 4 = 0.1 12 2y2二8x直线与抛物线相交，.k丰0且A 0 ,则k 1 . AB中点横坐标为：x + x4k + 8二i g 2 = =2，解得：k = 2或k = -1 (舍去).故所求直线方程为：y = 2x-2 .则有y12 = 8x1 y22 = 8x2 两式作差解:2k2解法二： 设 A(x1,y1) 、 B(x2,y2)y - yy1+y2(y - y )(y + y ) = 8(x - x )，即2 121212 x - x12x
7、+x =4.y + y =kx -2+kx -2=k(x +x )-4=4k-4,1 2 1 2 1 2 1 28k =故k = 2或k = -1 (舍去).则所求直线方程为：y = 2x-2.4k - 4探究三：抛物线中的定点和定值问题 典例3已知A, B是抛物线y2=2px (p0)上的两点，满足OA丄OB (O为坐标原点).(1) 求证A, B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；(2) 求证直线AB经过一个定点.解：设 A、B 坐标分别为：A (x1，yl), B (x2，y2).(1)证明:叽=y , kOB= y , OA丄OB,kOAkOB=-1,OA x OB xOA OB1
8、 2y 2 y 2x1x2+y1y2=0-又y12=2px1, y22=2px2,. pn-p+y1y2=0 y1 和，y2和， y1 y2=-4p2, x1 x2=4p2.故A, B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值.(2)证明：y12=2px1, y22=2px2，Ay12-y22=(y1 -y2)(y1 +y2)=2p(x1 -x2), 人一人=2P ，即直线AB的斜率为 2P .x 一 x y + yy + y12 12 1 2y 一 y 2p直线AB的方程为y-y1=十2 =(x-x1)=1 x 一 x y + y 11 2 1 2y - y 2p1 2 =X 一 X1 2y y
9、 将 y12=2px1，y22=2px2, y1y2=-4p2 代入整理可得：y= 1 一 2 =，x x y + y1 2 1 22P (x-2p).直线AB过定点(2p, 0).变式训练3 .已知M(a,2)是抛物线y2=2x上一定点，直线MP, MQ的倾斜角之和为n且 分别与抛物线交于P, Q两点，证明直线PQ的斜率为定值。解析易知M(2,2)设P$ y Q(寺，y2),由气=吼，得严=戸12222 2 2 22即卩y +y =4,k =-12PQ y y1212.探究四：抛物线中的最值问题典例4已知直线交抛物线ir = 4jc于A、B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使SEP的
10、面积最大,并求这个最大面积.y = 2z4If =必解:由得：必？ 一20工| 16 = 0，即所以71(43).故 |AB| = 3 杼则 P至U 直线 I 的距离为:1p=-|AB|-d = 3|(t l 1)(2)|9)故当 -，即点时,的面积最大为274变式训练4已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于Ag, y1), B(x2，y2)两点，则y2+y2的最小值是.解析 若k不存在，则y2 + y2 = 32 ;若k存在时，设直线AB的斜率为k ,由题意设直线AB的方程为y = k(x - 4),y 二 k(x - 4),、y2 二 4x消去 x ,得 ky2-4y-
11、 16k = 0.4-yi+y2 = k，yiy2=-16-y2 + y2的最小值为32.课堂巩固提升1.若过抛物线y2=4x的焦点的直线交抛物线于A, B两点，O为坐标原点，则OAOB的 值是()A12B12C3D3答案 D2. 若抛物线y=4x2上一点到y=4x+5的距离最短，则该点的坐标为()A. (0,0) B. (1,4) C. (2，1) D. (5,1)答案 C3. 过点(0,2)的直线与抛物线y2=8x交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2,则IABI等于()C. 2叮15D.V15A. 2你B.jT答案 C解析 设直线方程为 y = kx - 2 , A(xl , yl)
12、 , B(x2 , y2).y 二 kx - 2 ,由 1得 k2x2-4(k + 2)x + 4 = 0.、y2 = 8x ,直线与抛物线交于A ,B两点，.A二 16(k + 2)2 - 16k20，即 k - 1.x + x2(k + 2)又 2 二k2二 2 ,，.k = 2 或 k=- 1(舍去).IABI h : 1 + k2IX - x?l 二 1 + 22(X + x?)2 - 4工占2 二 5(42 - 4) 2、： 15.4. 已知F是抛物线C： y2=4x的焦点，A, B是C上的两个点，线段AB的中点为M(2,2),则ABF的面积等于.答案 2解析依题意设点A(y1, y
13、1) ,B(y2,y2)，则有y1+y2 = 4 ,孕+丰4，即y2 + y2=16，由此得y1y2 0 ,由此解得y1 = 0且y2 = 4或y1 = 4且y2 = 0，因此直线AB的方程是x - y 0 ,点F(1,0)到直线AB的距离等于 , IABI 4迈，所以ABF的面积等于 X4迈=2.93逅5. 已知点 P(1,3),圆 C： (x-m)2+y2=2过点 A(1,寸)，F 点为抛物线 y2=2px(p0)的 焦点，直线PF与圆相切.(1)求m的值与抛物线的方程；(2)设点B(2,5)，点Q为抛物线上的一个动点，求BPBQ的最大值。 解析(1)将点A坐标代入圆C方程，得(1 -m)2 + (-)2 = | ,9:.m 1.圆 C : (x - 1)2 + y2 = 2当直线PF的斜率不存在时，不合题意.当直线PF的斜率存在时，设为k，则PF的方程为y = k(x- 1) + 3，即kx-y + k + 3 = 0.直线PF与圆C相切Ik-0-k + 3I 3 迈2+ 1懈得k= 1或k=- 1.当k=1时，直线PF与x轴的交点横坐标为-2 ,不合题意，舍去.当 k=- 1 时,直线 PF 与 x 轴的交点横坐标为 4,：.p 4，那么抛物线方
