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1、 第四章习题答案4-1 一束电子进入1.2T的均匀磁场时,试问电子的自旋平行于和反平行于磁场的电子的能量差为多大? 解：磁矩为的磁矩，在磁场中的能量为： U = -= -B 电子自旋磁矩 = 电子自旋平行于和反平行于磁场的能量差u =B (-B) =2B u = 2B =2 0.5788eV 1.2 T = 1.39 eV4-2 试计算原子处于状态的磁矩及投影z的可能值.解：由可知 S= J= L=2 =+=+=又= = =1.55 =1.55 又 又 或 即4-3 试证实:原子在状态的磁矩等于零,并根据原子矢量模型对这一事实作出解释.解：由 可知：S = J = L = 4 即原子在状态的磁
2、矩等于零。 解释：原子的总角动量为 ，而处于态原子各角动量为： 则它们的矢量关系如图示：和同时绕旋进，相对取向保持不变 由三角形余弦定理可知： 而 相应的磁矩 由于磁矩随着角动量绕旋进，因而对外发生效果的是在方向上的分量。 其大小计算如下： 此结果说明，垂直于，因而原子总磁矩4-4 在史特恩-盖赫拉实验中,处于基态的窄的银原子束通过极不均匀的横向磁场,并射到屏上,磁极的纵向范围d=10cm,磁极中心到屏的距离D=25cm.如果银原子的速率为400m/s,线束在屏上的分裂间距为2.0mm,试问磁场强度的梯度值应为多大?银原子的基态为,质量为107.87u.解：原子束通过非均匀磁场时，如果磁场在Z
3、方向，可以证明：落在屏幕上的原子束偏离中心的距离为： P163 (20-13) （式中T为炉温，d为不均匀磁场的线度，D是磁场中心到屏的距离，是横向不均匀磁场梯度，是原子的总磁矩在Z方向的分量） 对：S=，L=0，J= Z=2Z 又Z=2.0mm Z=1.0mm = 4-5 在史特恩-盖赫拉实验中(图19.1),不均匀横向磁场梯度为 ,磁极的纵向范围d=10cm, 磁极中心到屏的距离D=30cm,使用的原子束是处于基态4F3/2的钒原子,原子的动能Ek=50meV.试求屏上线束边缘成分之间的距离解：设在屏上偏离x轴的距离为 = 由 可知 要求线束边缘间的距离则取 热平衡时 = 4-6 在史特恩
4、-盖拉赫实验中,原子态的氢从温度为400K的炉中射出,在屏上接受到两条氢束线,间距为0.60cm.若把氢原子换成氯原子(基态为),其它实验条件不变,那么,在屏上可以接收到几条氯束线?其相邻两束的间距为多少?解：在史盖实验中，原子束分裂条数等于2J+1，对Cl，基态为，即，因此屏上可接受到的氯束线为条 而原子束在屏上分裂的相邻两束的间距为：对于确定的实验装置和实验条件，=A 为一定值，于是有： 因为加热原子蒸气的炉温为400K，远小于K，此时，炉中的氢原子处于基态（），对于基态氢原子 L=0 S0 则=2 对于基态氯原子 L=1 S=1/2 J=3/2,朗德因子为 （cm）4-7 试问波数差为2
5、9.6cm-1的赖曼系主线双重线,属于何种类氢离子? 解：赖曼系第一条谱线是由n=2向n=1跃迁产生的，不考虑精细结构时，其波数为 当n=1时，L=0 电子态为1S当n=2时，L=0，1 电子态为2S和2P，按选择定则，此谱线只能来自2P1S的跃迁由于电子自旋和轨道运动的相互作用，2P能级具有双层结构和 双层能级间隔： 2S能级 L=0 S= 故j只能取一种值，能级是单层的，故2P1S谱线的精细结构波数差仅决定于2P的双能级间隔 即 Z = 3 4-8 试估计作用在氢原子2P态电子上的磁场强度.解：2P态电子绕核的半径为：r = 轨道运动的速率 v = (p46,7-19式) =0.39T (
6、p166) (21-12)式4-10 锌原子光谱的一条谱线(3S1-3P0)在B为1.00T的磁场中发生塞曼分裂,试问:从垂直于磁场方向观察,原谱线分裂为几条?相邻两谱线的波数差等于多少?是否属于正常塞曼效应?并请画出相应的能级跃迁图.解：锌原子的谱线（）的塞曼效应图如下：由图可知，原谱线分裂成3条，塞曼效应中分裂后的谱线与原谱线波数差可表示为： 其中， 对于：， 对于： 不确定 有，0，-1 ，有 沿垂直于方向可看到三条谱线。 由于，且谱线分裂间隔不是一个洛仑兹单位，故属于反常塞曼效应。 4-11 试计算在B为2.5T的磁场中,钠原子的D双线所引起的塞曼分裂.解：原子D双线，谱线由跃迁产生，
7、由产生。 （1）的塞曼分裂 上能级： 在外磁场中，上能级分裂为2J+1个支能级： 它们的原能级之差为： 下能级： 在外磁场中，下能级分裂为两个支能级，它们个原能级之差为 ，根据选择定则共有6种跃迁方式，分裂后的谱线和原谱线的波数差：可计算如下：、而分裂后的6条谱线和原谱线的波长差为： （2）对，访上讨论，有 可取 4-12 钾原子的价电子从第一激发态向基态跃迁时,产生两条精细结构谱线,其波长分别为766.4nm和769.9nm,现将该原子置于磁场B中(设为弱场),使与此两精细结构谱线有关的能级进一步分裂.(1)试计算能级分裂大小,并绘出分裂后的能级图.(2)如欲使分裂后的最高能级与最低能级间的
8、差距E2等于原能级E1的1.5倍,所加磁场B应为多大?解：（1）钾766.4nm和769.9nm双线产生于 这三个能级的g因子分别为，g=2 能级在磁场中分裂成4层，和能级在磁场中分裂成两层，能级间距为 次能级分裂后的能级如图： （2）由题意有： 即 4-13 假如原子处于的外磁场B大于该原子的内磁场,那么,原子的LS耦合将解脱,总轨道角动量L和总自旋角动量S将分别独立地绕B旋进.(1)写出此时原子总磁矩的表达式;(2)写出原子在此磁场B中的取向能E的表达式;(3)如置于B磁场中的原子是钠,试计算其第一激发态和基态的能级分裂,绘出分裂后的能级图,并标出选择定则(ms=0,ml=0,1)所允许的
9、跃迁.解：(1)在强磁场中，忽略自旋一轨道相互作用，这时原子的总磁矩是轨道磁矩和自旋磁矩的矢量和，即有： (2)此时，体系的势能仅由总磁矩与外磁场之间的相互作用来确定，于是有： (3)钠原子的基态为，第一激发态为。对点，因此式(2)结合出双分裂，分裂后的能级与原能级的能量差。 对于态，式(2)理应给出个分裂，但，与，对应的值相同，故实际上只给出五分裂，能量差为 原能级与分裂后的能级如下图所示： 根据选择规律； 它们之间可发生6条跃迁，由于较高的各个能级之间的间距相等，只产生三个能值，因此只能观察到三条谱线，其中一条与不加磁场时相重合。这时，反常塞曼效应被帕型巴克效应所取代。4-14 在B=4T的外磁场中,忽略自旋-轨道相互作用,试求氢原子的2P1S跃迁(=121nm)所产生的谱线的波长. 解：因忽略自旋一轨道相互作用，自旋轨道角动量不再合成，而是分别绕外磁场旋进，这说明该外磁场是强场，这时，反常塞曼效应被帕型巴克效应所取代，并趋于正常塞曼效应，即原谱线分裂为三条。 因此，裂开后的谱线与原谱线的波数差可用下式表示： 式中： 因，故有： 将，值代入上式得：
