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1、补充3.5）设粒子处于半壁高的势场中 （1）求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。解：分区域写出: （2）其中 （3）方程的解为 （4）根据对波函数的有限性要求，当时，有限，则当时，则于是 （5）在处，波函数及其一级导数连续，得 （6）上两方程相比，得 （7）即 （7） 若令 （8）则由（7）和（3），我们将得到两个方程：（10）式是以为半径的圆。对于束缚态来说，结合（3）、（8）式可知，和都大于零。（10）式表达的圆与曲线在第一象限的交点可决定束缚态能级。当，即，亦即 （11）时，至少存在一个束缚态能级。这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。313）设粒子在下列势阱中运动，
2、(1)是否存在束缚定态？求存在束缚定态的条件。解：S.eq: (2)对于束缚态（），令 (3)则 (4)积分,得跃变的条件 (5) 在处，方程(4)化为 (6)边条件为 因此 (7)再根据点连续条件及跃变条件(5)，分别得 (8) (9)由（8）（9）可得（以乘以（9）式，利用（8）式） (10)此即确定能级的公式。下列分析至少存在一条束缚态能级的条件。 当势阱出现第一条能级时，所以,利用 ,（10）式化为 ,因此至少存在一条束缚态能级的条件为 （11）纯势阱中存在唯一的束缚能级。当一侧存在无限高势垒时，由于排斥作用（表现为，对）。束缚态存在与否是要受到影响的。纯势阱的特征长度 。条件（11）
3、可改写为 （12）即要求无限高势垒离开势阱较远（）。才能保证势阱中的束缚态能存在下去。显然，当（即），时，左侧无限高势垒的影响可以完全忽略，此时，式（10）给出即 （13）与势阱的结论完全相同。令， 则式（10）化为 （14）由于，所以只当时，式（10）或（14）才有解。解出根之后，利用，即可求出能级 （15）7设一谐振子处于基态，求它的并验证测不准关系： （解）由对称性知道，同理也由对称性知道对谐振子而言，应先写出归一化波函数： 但 （1）于是 （2）为了计算这个积分，利用厄米多项式不同阶间的递推式： （3）此式作为已知的，不证。将前式遍乘，重复用公式 （4）将此式代入（2）此式最后一式第一
4、项。第三项都和 的正交化积分式成比例，都等于零。第二项和归一化积分成比例；可以简化 再计算，这可以利用波函数满足的微分方程式： （是振子质量）将此遍乘对积分测不准关系中的不准度是：测不准关系中的不准度是：= 因m=0, 而 9一维无限深势阱中求处于态的粒子的动量分布几率密度。 （解）因为是已知的，所以要求动量分布的几率密度，先要求动量波函数，这可利用福利衰变换的一维公式: 利用不定积分公式 用于前一式： (n奇数) ， (n偶数)动量几率密度分别是 ， （n奇数）， (n偶数)# 11设粒子处在对称的双方势阱中 0 （1）在情况下求粒子能级，并证明能级是双重简并。（2）证明取有限值情 况下，简
5、并将消失。（解）本题的势场相对于原点0来说是对称的，因此波函数具有字称。设总能量是E , 又设在区间(, ) (-a , a) (b , )之中波函数都是零，在区间(a ,b)，设波函数是： (1)考虑x=a, x=b二连续条件：（势阱外面） (2)从这里得到，因而得 , ,因而得 ，n, 是整数，满足边界条件的解是: 再考虑区间，设波函数： (5) 代入在二点的连续条件得得: ,但整数,因此区间的波函数: (6) (7)和之间要满足奇或偶宇称的要求,才能成为一组合理的解,若令,得A=B,相应的一组偶宇称解是: 同理令,得到一组奇宇称解是 (9) 和是线性不相关的解,但却有相同的波数,因而也有
6、相同的能级.能级是分立的,这可以从边界条件式同时满足的要求看到,这两式推得相减得是整数,可作为能级编号.因此能级是是二度简并的注: 在本题中因为左右两个势阱对称,粒子在两者中都能出现, 和实际上是同一个函数,只是的取值范围不同.考察为有限值情形的解,先设E 设区间中的解是 代入边界条件,的得因而或 在的对称区中的解设是 代入边界条件,得因而 或 (2) 和情形相同,C=A ,偶宇称解是 (3) 奇宇称解是 (4) 在区间内的解满足薛定谔方程但,令,知道这方程式的解可用实指数函数或双曲函数,计算法相类似.为计算方便直接设定区间 偶宇称解 (5)奇宇称解 (6)这两者都满足此区间的薛氏方程式.为确
7、定能量量子化条件,可以建立在边界点处,波函数及其一阶导数的连续条件.使用(3)和(5)有: 即 ： （7） 即： （8）（7）和（8）相除得：将此式改用能量E的项来表示,得到偶宇称态的能量量子化条件： （9）注意若使用边界点x=-a上的连续条件,由于对称性得不到新解.其次求奇宇称的能量量子化条件,为此先写出x=a处连续条件, 所用方程式是(4)和(6) 即： （11） 即： （12）相除得： 改写成能量式子: （13）（9）和（13）是不同的方程式,它们所决定的能级是不相同的,因此偶宇称波函数（3）和（5）与奇宇称波函数（4）和（6）不具有相同的能量E,它们是非简并的.（9）（13）中E的分立
8、解要用图解法,与有限深势阱类似.第二种情形是，这种情形可不必作重复计算.因为 令，则 代入（5）（6）得区间的波函数： 偶宇称解 （14） 奇宇称解 （15）(a,b)区间的解同于（1）式的，区间解同于（2）式的 能量量子化条件是:偶宇称: (16)奇宇称 (17)也是不同的方程式.奇偶宇称的波函数是非简并的。12设粒子在下述周期场V(x)中运动(见附图)求它的能带。(分,两种情况)证明当时,若保持常数,上述周期场变成Dirac梳:(解) 情形为求能带先要决定各个区间中的波函数,按题意粒子的薛氏方程式只有二种,在势垒之内,如区间；。薛氏方程为: 或 （但 ） （1）它的解是实指数形式或双曲线函数形式,设区间中的波函数是: (2)在势垒外面的区间；。等, 薛氏方程式是： （但 ）它的解是虚指数函数或者三角函数,用任何一种都可以,下面用虚指数的:区间中 (3)但势能相同的区间波函数未必相同,应当依周期场Bloch的定理来规定,在区间的势垒内,其波函数可根据推出 (4)但K是个未定参数根据(2)
