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1、智慧引航2013 年第 12 期知错觅因寻正解导数是高中课程重点内容，初学这部分，同学们往往会出现这样那样的错误.现举几种 常见的错误加以剖析，希望对同学们能有所帮助.误区一、对导数定义理解不透致错/例 1已知函数 f (x) = x3 - x2 + 6，求 lim f(1 X)_f(1).2z2 Ax【错解】因为f(x)二3x2-x,故lim 空x) 辿二广(x)二2.心02Ax【剖析】上述解法错误的原因是对导数的定义理解不透，函数y二f (x)在点x处的Ay导数八x0)巴Axlim f(xo +Ax) 一 f (xo)AxtOAx，就是函数在这一点的函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量
2、的增量趋近于零时的极限，分子分母中的自变量的增量Ax必须保持一致，它是非零的变量，可以是-2Ax，Ax等.正解】lim f + 山)-f =lim f + 山)-f AxtO2AxAxtO 2(1 + Ax) 1误区二、求复合函数的导数出错/例2函数y = ln(x +、：x2 - a2)的导数是( )11(A) (1 +).x +、； x 2 a 22 x2 a 21(B)x 2 a 21(C)x+ px2 a21(D)x2 一 a2(x + x2 一a2)错解】y=n(x +；x 2 a 2)二1I:x + ： x 2 a 2-(x +、*；x2 a2 ) (1+x + ； x 2 a 2
3、2、： x 2 a 2.故选 A.【剖析】漏掉了 x2 a2对x求导这一层，导致错误.正解y = ln(x + x2 a2 j = (x + x2 a2)x + px2 a2 (1+)=1 (1 + . x )x + x 2 a 22、： x 2 a 2 x + x 2 a 2yx 2 a 21vx 2 a 2故选 B.误区三、忽视“过某点的切线”与“在某点处的切线”的区别致错/例3过曲线y = x3 + 2x上一点(1,3)的切线方程错解】因为y= 3x2 + 2，故y| .= 5，所以所求切线方程为y 3二5(x 1),x=1【剖析】 求切线方程时，一定要注意是求过某一点的切线方程还是求在
4、某一点处的切 线方程. 前者该点未必是切点，可能会有多个结果，而后者该点必为切点，通常只有一个结 果比如，l ,l ,l都是过P点的切线，l则是在P点处的切线过曲线上一点的切线和在某 1233点处的切线是两个不同的概念.【正解】设切线在曲线上的切点为(x ,x 3 + 2x )，而y二3x 2 + 2，故切线0 00x=x00方程为 y 一 x 3 一 2x = (3x 2 + 2)(x 一 x )，0 0 0 0由题意，该切线过点 (1,3) .从而有3 x 3 2x = (3x 2 + 2)(1 x )，整理得(x 1)2(2x +1) = 0，所以x = 1 0 0 0 0 0 0 0
5、或x 0 = 2 .代入就不难得到切线方程为5 x y 2 = 0或11x 4 y +1 = 0.2误区四、误认为：“ f(x ) = 0 ”是“ x = x是极值点”的充要条件00/例4已知函数f (x) = x3 + ax2 + bx + a2在x = 1处取得极值10,求f.I f(l) = 0,la = 3,【错解】f(x)二3x 2 + 2ax + b，由题意得，仁小1八解得Q或L f =10,b = 3.a 二 4, 0，所以 x 二 1 不是极值点，故f (x)二 x3 + 4x2 11x +16，f (2)二 18 .误区五、对函数单调的充要条件理解不清而致错例5已知函数f (
6、x)二ax3 + 3x2 x + 2在R上是减函数，求a的取值范围.【错解】f(x) = 3ax2 + 6x 1，f (x)在R上是减函数，f(x) 0对x g R恒成 立. a 0，且 A = 36 + 12a 0，故a 3 即为所求.【剖析】f(x) 0( f(x) 0)，且f(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒等于0. 特别是在已知函数的单调性求参数的取值范围时，要注意等号是否成立.【正解】由题设易得f(x) = 3ax2 + 6 x 1.f (x)在R上是减函数且f(x)在R的任意子区间上不恒为0 , /(x) 0对x g R 恒成立，即a0，A = 36 + 12a0， a 3即为
7、所求.误区六、混淆极值与最值而致错例6求函数f (x) = sin 2x-x在一一上的最大值和最小值.错解】兀f(x)二 2cos2 x-1，令 f(x)二 0得 2cos 2x一 1 = 0，解得 x 二一 或 16兀x 26时，f(x ) 0，所以f (x)是增函数；当x Gf(x) 0，所以 f (x)是减函数兀J3 兀兀所以当x二 时，f (x)取最大值-三；当x二 时，f (x)取最小值三-62 666【剖析】极值不一定是最值，最值也不一定是极值对闭区间a,b上的连续函数，还要将极值点与端点的函数值比较，才能判定最值.【正解】 同错解(至位置)，f (x)极大值f(?) -夕，极小值兀j 3 兀兀兀兀 兀f (- ) = 一 + ，又f ( ) = 一 ，f (一 )=，比较四个数的大小，可知函数f (x) 6 2 6 2 2 2 2兀兀22兀上的最大值和最小值分别为-,
