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1、第章 拉普拉斯变换的数学方法拉普拉斯变换简称拉氏变换，是分析研究线性动态系统的有力数学工具。通过拉氏变换将时域的微分方程变换为复数域的代数方程，这不仅运算方便，使系统的分析大为简化，而且在经典控制论范畴，直接在频域中研究系统的动态特性，对系统进行分析、综合和校正，具有很广泛的实际意义。2-1 复数和复变函数1.复数的概念复数，其中、均为实数，分别称为S的实部和虚部，记做，为虚单位。两个复数相等时，必须且只须它们的实部和虚部分别相等，一个复数为零，它的实部和虚部均必须为零。2.复数的表示方法：表达复数的直角坐标系平面称为复平面或S平面。（1）点表示法（2）向量表示法复数S用从原点指向点（）的向量
2、来表示。向量的长度称为复数S的模或绝对值。向量与轴（横轴）的夹角称为复数的幅角，即。（3）三角表示法：由上图可看出：，因此复数的三角表示法为：（4）指数表示法：利用欧拉公式：，复数S也可用指数表示为：3.复变函数、极点与零点的概念以复数为自变量，按某一确定法则构成的函数G(s)称为复变函数，G(s)可写成：，在线性控制系统中，通常遇到的复变函数G(s)是S的一个给定值，G(s)就唯一被确定。若有复变函数 当时，,称，为G(s)的零点；当时，称，为G(s)的极点。2-2 拉氏变换与拉氏反变换的定义一、拉氏变换设有时间函数，则的拉氏变换记做或，并定义为： 式（21） 式中为复数，称为原函数，为象函
3、数。例：已知的定义域是，求。解： 二、拉氏变换的存在定理若函数满足下列条件：在的任意有限区间上分段连续，时，。 当时，的增长速度不超过某一指数函数，即存在常数，及（均为实数），使得（）成立，则的拉氏变换收敛于一确定的数值，即的拉氏变换存在。例：求函数的拉氏变换。解：满足存在定理的条件；取，当时， ，故也满足条件，所以存在。 令 分部积分公式：三、拉氏反变换当已知的拉氏变换，欲求原函数时，称为拉氏反变换，记做，并定义为如下积分 （2-2）式中为大于所求奇异点实部的实常数（奇异点即在该点不解析，也就是在该点即其邻域不处处可导）。式（2-2）是求拉氏变换的一般公式，因是一复变函数，计算式（2-2）的
4、积分需借助复变函数中留数定理来求。通常对于简单的象函数，可直接查拉氏变换表求得原函数。对于复杂的象函数，可用部分分式法求得（后面讲述）。2-3 典型时间函数的拉氏变换1.单位阶跃函数阶跃函数：是自动控制系统在实际工作条件下经常遇到的一种外作用形式。例如：电源电压突然跳动；负载突然增大或减小；飞机飞行中遇到的常值阵风扰动等，都可视为阶跃函数形式的外作用。在控制系统的分析和设计工作中，一般将阶跃函数作用下系统的响应特性作为评估系统动态性能指标的依据。单位阶跃函数：定义为，如下图（第一类换元法，凑因子法）2.单位脉冲函数脉冲函数在现实中是不存在的，只是数学上的定义，但它却是一个重要的数学工具。例如：
5、一个任意形式的外作用可以分解成不同时刻的一列系脉冲函数之和，这样通过研究控制系统在脉冲函数作用下的响应特性，便可了解在任意形式外作用下的响应特性。单位脉冲函数：定义为在工程中常用长度等于1的有向线段表示，该线段的长度表示它的积分值，称为它的脉冲强度。且具有如下特性：，为t=0时刻的函数的值。故其拉氏变换： 其拉氏反变换：3.单位斜坡函数 斜坡函数：在工程实践中，某些随动系统就常常工作于这种外作用下。例如：雷达高射炮防空系统，当雷达跟踪目标已恒定速率飞行时，可视为该系统工作于斜坡函数的作用下。单位斜坡函数：定义为 用分部积分法：令：，则，4.指数函数 拉氏反变换： 5.正弦函数由欧拉公式： 由得
6、，代入， 其拉氏反变换： 正弦函数是控制系统常用的一种典型外作用，例如：舰船的消摆系统，稳定平台的随动系统等，就是处于形如正弦函数的波浪下工作的。更为重要的是，系统在正弦函数作用下的响应即频率响应，是自动控制理论中研究控制系统性能的重要依据。6.余弦函数由欧拉公式： 其拉氏反变换： 7.幂函数令 , ,所以 式中为（伽马）函数，当n是正态数时，故 其拉氏反变换 ： 例：若n=2，求 ，解： 常用函数的拉氏变换表1123t4567891011122-4 拉氏变换的性质1.线性性质拉氏变换是一个线性变换，若有常数, ,函数,则拉氏反变换亦是线性变换，即例：求 解： 2.实数域的位移定理（延时定理）
7、若,对任一正实数,有27表明：时间函数的自变量在时间轴位移，其象函数等于的象函数乘以指数因子。例：求图所示方波的拉氏变换。解：方波可表达为，因3.复数域的位移定理若，对任一常数（实数或复数），有例：求的拉氏变换解： 同理 表明：如果函数的自变量扩大倍，则的象函数等于的象在复域上压缩倍，并乘以常数。4.相似定理若，对任一常数，有 。例：求。解：因 故5.微分定理若，则，为由正向使的值。推论：若Lf(t)=F(s),则当初始条件为0时，即 则有 6.积分定理若,则 式中是在时的值。7.初值定理若函数f(t)及其一个阶导数都是可拉氏变换的，则函数f(t)的初值为即原函数在自变量从正趋于零时的极限值，
8、取决于其象函数的自变量趋于无穷大时的极限值。8.终值定理 若，则 另述：若函数及其一阶导数都是可拉氏变换的，并且除在原点处唯一的极点外，在包含轴的右半平面内是解析的（这意味着当时，趋于一个确定的值），则函数的终值为。例：已知，求和。 解： 验证：，则,。2-5拉氏变换的数学方法已知象函数，求原函数的方法有： 查表法：即直接查表，查出相应的原函数，适用于较简单的象函数。有理函数法：根据拉氏变换公式求解，由于公式中的被积函数是一个复变函数，需用复变函数中的留数定理求解，较复杂， 本文不作介绍。部分分式法：通过代数运算，先将一个复杂的象函数化为数个简单的部分分式之和，再分别求出各个分式的原函数，总的
9、原函数即可求得。 这里介绍部分分式法。一般，是复数的有理代数式，可表示为 式中和分别为的极点和零点，它们是实数或共轭复数，而且，一般。根据极点种类的不同，将象函数代为部分分式之和，有以下两种情况。1.无重极点的情况总是能展开为下面简单的部分分式之和：为待定系数。先以（）同乘上式两边，后以代入，则有注：时，各项均为零。故有依此类推有：因为：所以：当某极点等于零，或为共轭复数时，同样可用上述方法求解。2.有重极点：设F(s)有r个重极点，其余极点均不相同，则：式中的求法如下：其余系数求法与前几种（无重极点）所讲述的方法相同，即求得所有的待定系数后，F(s)的反函数为例：求的拉氏反变换（无重极点）解
10、：若为共轭复数极点，其相应系数也是共轭复数，只要求出其中一个，另一个即可得。若为共轭复数极点，则相应的系数：所以：欧拉公式：例：求的拉氏变换（有重极点）。解： 所以：练习1：,求f(t),(无重极点)，部分分式法解：2： 求。（或共轭复数）解： 复数位移定理：3：（有重极点）求的拉氏变换。解：2-6用拉氏变换解常微分方程步骤如下：（1）对方程两边取拉氏变换，得象函数的代数方程。（2）由代数方程解出象函数,Y(s)（3）取拉氏反变换解微分方程的解,y(t)例：求微分方程，满足初始条件的解。解对方程两边也取拉氏变换得代入初始条件得利用部分分式方法得例：求微分方程的解x(t),，a、b均为常数。解：方程两侧拉氏变换得：代入初始条件的：整理得： 例：求微分方程解：拉氏变换：因设 215
