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1、2013年高考第一轮复习资料理科数学 第36讲 数学归纳法【考点解读】1、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题要分两步完成验证n取第一个值n。（n。是使结论有意义的最小正整数）时结论成立，假设是n=k（kN+，且kn。）时结论成立，再推论n=k+1时成立，完成以上两步后，下一个总的结论。2、使用数学归纳法时，两步缺一不可，第一步归纳验证是证明的归纳基础，第二步先归纳假设再归纳推理，反映了无限递推关系，是数学归纳法的递推步骤，在从n=k至n=k+1的递推过程中，一定要用到归纳假论，否则就不正确。【知识扫描】1、在证明传递性时应注意：证明n=k+1成立时，必须要用到n=k成立的假设，否则，就不是
2、数学归纳法。2、证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立3、用数学归纳法证明代数恒等式的关键是在第二步将式子代为与归纳假设结构相同的形式，再利用归纳假设进行恒等变形，用数学归纳法证不等式时，在把n=k的不等式转化为n=k+1的不等式成立的命题时，比较法、综合法、分析式、放缩法等不等式的证明方法是常用方法，用数学归纳法证明整除性问题、几何问题时，要注意寻找当n=k到n=k+1时，代
3、数式或几何之素是如何增加的，做到有目标的变形。【考计点拨】牛刀小试：1一个关于自然数n的命题，如果验证当n1时命题成立，并在假设当nk(k1且kN*)时命题成立的基础上，证明了当nk2时命题成立，那么综合上述，对于()A一切正整数命题成立B一切正奇数命题成立C一切正偶数命题成立D以上都不对解析：选B.本题证的是对n1,3,5,7，命题成立，即命题对一切正奇数成立2在数列an中，an1，则ak1()AakBakCakDak解析：选D.a11，a21，an1，ak1，所以，ak1ak.3设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k1)与f(k)的
4、关系是()Af(k1)f(k)k1Bf(k1)f(k)k1Cf(k1)f(k)kDf(k1)f(k)k2解析：选C.当nk1时，任取其中1条直线，记为l，则除l外的其他k条直线的交点的个数为f(k)，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点)；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是f(k)kf(k1)4用数学归纳法证明当nN*时12222325n1是31的倍数时，当n1时原式为_，从kk1时需增添的项是_解析：把nk，nk1相比较即可得出答案：1222232425k
5、25k125k225k325k45用数学归纳法证明123n2时，当nk1时左端在nk时的左端加上_解析：nk时左端为123k2，nk1时左端为123k2(k21)(k22)(k1)2.答案：(k21)(k22)(k1)2典例分析题型一 用数学归纳法证明等式例1、(江西省南昌二中2012届高三第三次月考理科20)已知数列满足：，（）求；（）猜想数列的通项公式，并证明你的结论；（）已知数列满足：，S为数列的前n项和，证明： 【解析】【变式训练】用数学归纳法证明:nN*时,+=.【标准解析】因为题目要求的很明确，故只能利用数学归纳法.【答案】证明 （1）当n=1时,左边=,右边=,左边=右边,所以等
6、式成立.（2）假设当n=k(kN*)时等式成立,即有+=,则当n=k+1时,+=+=,所以当n=k+1时,等式也成立.由（1）（2）可知,对一切nN*等式都成立.【技巧点拨】 用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题，关键是弄清等式两边的构成规律：等式的两边各有多少项，由n=k到n=k+1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项，难点在于寻求n=k到n=k+1时之间的联系题型二 用数学归纳法证明不等式例2、(湖南省衡阳八中2012届高三第三次月考理科21)（本小题满分13分）已知曲线，从上的点作轴的垂线，交于点，再从点作轴的垂线，交于点，设（1）求数列的通项公式；来源:学|科|网Z|X|X|K（
7、2）记，数列的前项和为，求证：；（3）若已知，记数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小【解析】（1）依题意点的坐标为， （2），所以：，（5分）当时，（当时取“”）（8分）（3），由知， 而，所以可得于是 10分当时 ；当时，当时， 下面证明：当时，证法一：（利用组合恒等式放缩）当时， 当时， 13分证法二：（数学归纳法）证明略来源:学科网证法三：（函数法）时，构造函数，当时，在区间是减函数，当时，在区间是减函数，当时，从而时，即当时，【技巧点拨】从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后用数学归纳法予以证明这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有
8、着广泛的应用其思维模式是“观察归纳猜想证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想开放题求解要注意观察题目的特点，可以先通过特殊数尝试可能的结果，然后总结归纳出一般规律，利用归纳法证明结论题型三 与数学归纳法有关的开放性问题例3、已知等差数列an的公差d大于0，且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列bn的前n项和为Tn，且Tn=1-.（1）求数列an、bn的通项公式；（2）设数列an的前n项和为Sn，试比较与Sn+1的大小，并说明理由.【命题立意】本题考查数学归纳法在不等式证明中的应用，探求开放性问题的解法.【标准解析】由方程可以求出等差数列的通项和前n项和，由Tn=1-可以求出等比数列
9、的通项；比较比较与Sn+1的大小的大小，利用做差法有难度，可以利用“观察归纳猜想证明”的思路解决.【误区警示】用数学归纳法证明要注意步骤完整，不要忘记归纳.【答案】（1）由已知得,又an的公差大于0，a5a2,a2=3,a5=9.d= =2，a1=1.an=2n-1.Tn=1-bn，b1=，当n2时，Tn-1=1-bn-1,bn=Tn-Tn-1=1-bn-(1-bn-1),化简，得bn=bn-1,bn是首项为,公比为的等比数列，即bn=,an=2n-1，bn=.(2)Sn=n2,Sn+1=（n+1）2，=.以下比较与Sn+1的大小：当n=1时，=，S2=4，S2,当n=2时，=,S3=9,S3
10、,当n=3时，=,S4=16,S4,当n=4时，=,S5=25,S5.猜想：n4时，Sn+1.下面用数学归纳法证明：当n=4时，已证.假设当n=k (kN*,k4)时，Sk+1,即(k+1)2.那么n=k+1时，=33(k+1)2=3k2+6k+3=(k2+4k+4)+2k2+2k-1(k+1)+12=S(k+1)+1,n=k+1时，Sn+1也成立.由可知nN*,n4时，Sn+1都成立.综上所述，当n=1,2,3时，Sn+1,当n4时，Sn+1.【变式训练】在1与2之间插入个正数，使这个数成等比数列；又在1与2之间插入个正数，使这个数成等差数列记求：（1）求数列和的通项； （2）当时，比较与的大小，并证明你的结论【标准解析】本题考查等差数列，等比数列的知识，以及观察、分析、归纳的能力和数学归纳法【答案】（1）成等比数列，来源:Z.xx.k.Com 成等差数列，来源:学#科#网所以数列的通项，数列的通项（2）要比较与的大小，只需比较的大小，也就是比较当时，与的大小当时，知经验证，时，均有成立，猜想，当时有下面用数学归纳法证明：（）时已证（）假设时不等式成立，即，好么故即时不等式也成立来源:Zxxk.Com根据（）和（）当时，成立，即归纳小结：1、数学归纳法的基本步骤， 2、注意第2步中一定要用归纳假设。
