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1、55数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题新知初探新知初探自主学自主学习课堂探究堂探究素养提升素养提升新知初探新知初探自主学自主学习教 材 要 点知识点一归纳法由有限多个个别的特殊事例得出_的推理方法，通常称为归纳法一般结论知识点二数学归纳法对于某些与自然数有关的数学命题，常采用下面的方法和步骤来证明它的正确性：(1)证明当n取_(例如n00，n01等)时命题成立(2)假设当_(k为自然数，kn0)时命题正确，证明当_时命题也正确在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都正确这种证明方法叫做数学归纳法初始值n0nknk1基 础 自 测
2、1一批花盆堆成三角形垛，顶层一个，以下各层排成正三角形，第n层和第n1层花盆总数分别是f(n)和f(n1)，则f(n)与f(n1)的关系为()Af(n1)f(n)n1Bf(n1)f(n)nCf(n1)f(n)2nDf(n1)f(n)1答案：A解析：边数最少的凸n边形是三角形答案：C3用数学归纳法证明等式“135(2n1)n2”时，从k到k1左边需增加的代数式为()A2k2B2k1C2kD2k1解析：等式“135(2n1)n2”中，当nk时，等式的左边135(2k1)，当nk1时，等式的左边135(2k1)2(k1)1135(2k1)(2k1)，从k到k1左边需增加的代数式为2k1.答案：D4用
3、数学归纳法证明：“当n为奇数时，xnyn能被xy整除”时，在归纳假设中，假设当nk时命题成立，那么下一步应证明n_时命题也成立解析：两个奇数之间相差2，nk2.k2课堂探究堂探究素养提升素养提升【解析】实际是由1(即a0)起，每项指数增加1，到最后一项为an1，所以n1时，左边的最后一项应为a2，因此左边计算的结果应为1aa2.【答案】C状元随笔注意左端特征，共有n2项，首项为1，最后一项为an1.方法归纳1验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.2递推是关键：正确分析由nk到nk1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障答案：C状元随笔要证等式的左边共2n
4、项，右边共n项，f(k)与f(k1)相比左边增两项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同因此，由“nk”到“nk1”时要注意项的合并方法归纳1用数学归纳法证明恒等式的关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项2利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述nn0时命题的形式，二是要准确把握由nk到nk1时，命题结构的变化特点并且一定要记住：在证明nk1成立时，必须使用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节数学归纳法证明整除问题例3求证：an1(a1)2n1能被a2a1整除，nN.【
5、证明】(1)当n1时，a11(a1)211a2a1，命题显然成立(2)假设nk(kN，且k1)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则当nk1时，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1.由归纳假设，得上式中的两项均能被a2a1整除，故nk1时命题成立由(1)(2)知，对nN，命题成立状元随笔对于多项式A，B，如果ABC，C也是多项式，那么A能被B整除若A，B都能被C整除，则AB，AB也能被C整除方法归纳利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式这
6、就往往要涉及到“添项”“减项”与“因式分解”等变形技巧，凑出nk时的情形，从而利用归纳假设使问题得证跟踪训练3求证：n3(n1)3(n2)3能被9整除证明：(1)当n1时，13(11)3(12)336，36能被9整除，命题成立(2)假设nk(k1，kN)时，命题成立，即k3(k1)3(k2)3能被9整除则nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3(k1)3(k2)3k33k233k3233k3(k1)3(k2)39(k23k3)，由归纳假设知，上式都能被9整除，故nk1时，命题也成立由(1)和(2)可知，对nN命题成立证明几何命题例4平面内有n(n2，nN)条直线，其中任意两条不平行，任意三条不
7、过同一点，那么这n条直线的交点个数f(n)是多少？并证明你的结论状元随笔(1)从特殊入手，求f(2)，f(3)，f(4)，猜想出一般性结论f(n)；(2)利用数学归纳法证明方法归纳1从特殊入手，寻找一般性结论，并探索n变化时，交点个数间的关系2利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由nk到nk1时几何图形的变化规律并结合图形直观分析，要弄清原因跟踪训练4在本例中，探究这n条直线互相分割成线段或射线的条数是多少？并加以证明解析：设分割成线段或射线的条数为f(n)则f(2)4，f(3)9，f(4)16.猜想n条直线分割成线段或射线的条数f(n)n2(n2)，下面利用数学归纳法证明(1)当n2
8、时，显然成立(2)假设当nk(k2，且kN)时，结论成立，f(k)k2，则当nk1时，设有l1，l2，lk，lk1共k1条直线满足题设条件不妨取出直线l1，余下的k条直线l2，l3，lk，lk1互相分割成f(k)k2条射线或线段直线l1与这k条直线恰有k个交点，则直线l1被这k个交点分成k1条射线或线段k条直线l2，l3，lk1中的每一条都与l1恰有一个交点，因此每条直线又被这一个交点多分割出一条射线或线段，共有k条故f(k1)f(k)k1kk22k1(k1)2.当nk1时，结论正确由(1)(2)可知，上述结论对一切n2均成立状元随笔求Sn再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意Sn表示
9、前n项的和(n1)，首先验证n2，然后证明归纳递推教材反思易错点1应用数学归纳法时的常见问题有哪些？第一步中的验证，n取的第一个值n0不一定是1，n0指的是适合命题的第一个自然数不是一定从1开始，有时需验证n2等对nk1时式子的项数以及nk与nk1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障“假设nk时命题成立，利用这一假设证明nk1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范2如何理解归纳假设在证明中的作用？归纳假设在证明中起一个桥梁的作用，联结第一个值n0和后续的n值所对应的情形在归纳递推的证明中，必须以归纳假设为基础进行证明否则，就不是数学归纳法3为什么数学归纳法能够证明无限多正整数都成立的问题呢？这是因为第一步首先验证了n取第一个值n0时成立，这样假设就有了存在的基础假设nk成立，根据假设和合理推证，证明出nk1也成立这实质上是证明了一种循环如验证了n01成立，又证明了nk1也成立这就一定有n2成立，n2成立，则n3也成立；n3成立，则n4也成立如此反复，以至无穷对所有nn0的整数就都成立了数学归纳法非常巧妙地解决了一种无限多的正整数问题，这就是数学方法的神奇
