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1、圆周角和圆心角的关系授课：李旭文教学目标 (一)教学知识点1掌握圆周角定理几个推论的内容2会熟练运用推论解决问题 (二)能力训练要求1培养学生观察、分析及理解问题的能力2在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式 (三)情感与价值观要求培养学生的探索精神和解决问题的能力.教学重点圆周角定理的几个推论的应用教学难点理解几个推论的“题设”和“结论”教学方法指导探索法教具准备投影片三张第一张：引例(记作332 A)第二张：例题(记作332 B)第三张：做一做(记作332 C)教学过程创设问题情境，引入新课 师请同学们回忆一下我们前几节课学习了哪些和圆有关系的角?它们之
2、间有什么关系? 生学习了圆心角和圆周角、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即圆周角定理 师我们在分析、证明上述定理证明过程中，用到了些什么数学思想方法? 生分类讨论、化归、转化思想方法 师同学们请看下面这个问题：(出示投影片332 A)已知弦AB和CD交于O内一点P，如下图求证：PAPB=PCPD 师生共析要证PAPBPCPD，可证由此考虑证明以PA、PC为边的三角形与以PD、PB为边的三角形相似由于图中没有这两个三角形，所以考虑作辅助线AC和BD要证PACPDB由已知条件可得APC与DPB相等，如能再找到一对角相等如AD或CB便可证得所求结论如何寻找A=D或C=B.要想解决这个问题我
3、们需先进行下面的学习讲授新课 师请同学们画一个圆，以A、C为端点的弧所对的圆周角有多少个?(至少画三个)它们的大小有什么关系?你是如何得到的? 生 弧AC所对的圆周角有无数个，它们的大小相等，我是通过度量得到的 师大家想一想，我们能否用验证的方法得到上图中的ABCADCAEC?(同学们互相交流、讨论) 生由图可以看出，ABC、ADC和AEC是同弧(弧AC)所对的圆周角，根据上节课我们所学的圆周角定理可知，它们都等于圆心角AOC的一半，所以这几个圆周角相等 师通过刚才同学的学习，我们上面提出的问题A=D或CB找到答案了吗? 生找到了，它们属于同弧所对的圆周角由于它们都等于同弧所对圆心角的一半，这
4、样可知AD或CB 师如果我们把上面的同弧改成等弧，结论一样吗? 生一样，等弧所对的圆心角相等，而圆周角等于圆心角的一半，这样，我们便可得到等弧所对的圆周角相等 师通过我们刚才的探讨，我们可以得到一个推论在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 师若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论成立吗?请同学们互相议一议 生如右图，结论不成立因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在弦不是 直径的情况下是不相等的.注意：(1)“同弧”指“同一个圆” (2)“等弧”指“在同圆或等圆中” (3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦” 师接下来我们看下面的问题：如右图，BC是O的直径，它所对的圆周角是
5、锐角、直角，还是钝角?你是如何判断的?(同学们互相交流，讨论) 生直径BC所对的圆周角是直角，因为一条直径将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是BOC=180，所以BAC=90 师反过来，在右图中，如果圆周角BAC=90，那么它所对的弦BC经过圆心O吗?为什么? 生弦BC经过圆心O，因为圆周角BAC=90连结OB、OC，所以圆心角BOC=180，即BOC是一条线段，也就是BC是O的一条直径 师通过刚才大家的交流，我们又得到了圆周角定理的又一个推论：直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角直角：如
6、果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题 师为了进一步熟悉推论，我们看下面的例题(出示投影片332 B) 例如图示，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么? 师生共析由于AB是O的直径，故连接AD由推论直径所对的圆周角是直角，便可得ADBC，又因为ABC中，ACAB，所以由等腰三角形的二线合一，可证得BD=CD下面哪位同学能叙述一下理由? 生BD=CD理由是：连结ADAB是O的直径，ADB=90即ADBC又ACAB,BDCD 师通过我们学习圆周角定理及推论，大家互相交流，讨论一下，我们探索上述问题时，用到了哪些方法?试举例说明 生在
7、得出本节的结论过程中，我们用到了度量与证明的方法，比如说在研究同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；还学到了分类与转化的方法比如说在探索圆周角定理过程中，定理的证明应分三种情况，在这三种情况中，第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，再比如说，学习圆周角定义时，可由前面学习列的圆心角类比得出圆周角的概念.P107 随堂练习1为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形？说一说这种设计的合理性答：有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等2如下图，哪个角与BAC相等?答：BDCBAC3. 如下图，O的直径AB10 cm，C为O
8、上的一点，ABC30，求AC的长解：AB为O的直径ACB=90又ABC=30，AC=0.5AB=0.510=5(cm)4小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形，根据下图，你能判断哪个是半圆形?为什么?答：图(2)是半圆形、理由是：90的圆周角所对的弦是直径下面我们一起来看一个问题：做一做(出示投影片 332 C)船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如下图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，ACB就是“危险角”当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁(1)当船与两
9、个灯塔的夹角大于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么?(2)当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么?分析：这是一个有实际背景的问题，由题意可知：“危险角” ACB实际上就是圆周角，船P与两个灯塔的夹角为，P有可能在O外，P有可能在O内，当C时，船位于暗礁区域内；当C时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证解：(1)当船与两个灯塔的夹角大于“危险角” C时，船位于暗礁区域内(即O内)，理由是：连结BE，假设船在(O上，则有=C，这与C矛盾，所以船不可能在O上；假设船在O外，则有AEB，即C，这与C矛盾，所以船不可能在O外因此船只能位于O内 (2)当船与两个灯塔的夹角小
10、于“危险角” C时，船位于暗礁区域外(即O外)理由是：假设船在O上，则有C，这与AEB，即C这与C矛盾，所以船不可能在O内，因此，船只能位于O外注意：用反证法证明命题的一般步骤： (1)假设命题的结论不成立； (2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾 (3)山矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确课时小结本节课我们学习了圆周角定理的2个推论，结合我们上节课学到的圆周角定理，我们知道，在同圆或等圆中，根据弦及其所对的圆心角，弧，弦、弦心距之间的关系，实现了圆中这些量之间相等关系的转化，而圆周角定理建立了圆心角与圆周角之间的关系，因此，最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角)，线段(弦、弦心距
11、)、弧等量与量之间相等关系的相等相互转化，从而为研究圆的性质提供了有力的工具和方法.课后作业课本P108 习题35活动与探究如下右图，BC为O的直径，ADBC于D，P是弧AC上一动点，连结PB分别交AD、AC于点E、F (1)当弧PA=弧AB时，求证：AE=EB； (2)当点P在什么位置时，AF=EF，证明你的结论 过程(1)连结AB证AE=EB需证ABEBAE (2)执果索因寻条件：要AF=EF，即要AAEF，而AEF=BED，而要A=BED，只需BC，从而转化为弧PC=弧AB 结果(1)证明：延长AD交O于点M，连结AB、BMBC为O的直径，ADBC于D弧AB=弧BMBADBMD又弧AB=弧AP，ABP=BMDBADABPAEBE (2)当弧PC=弧AB时，AF=EF证明：弧PC=弧AB，PBC=ACB而AEFBED90-PBC，EAF=90-ACBAEF=EAFAF=EF板书设计圆周角和圆心角的关系一、推论一： 三、例题 四、随堂练习在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等二、推论二：直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径五、做一做(反证法)六、课时小结一、推论一： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等二、推论二：直径所对的圆周角是直角； 90的圆周角所对的弦是直径七、课后作业1.完成配套练习2.课本习题第4、5、6题
