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1、决策理论与方法3a第三章 效用、损失和风险(Utility,Loss and Risk)本章主要参考文献：60，56，86，87，92，129，156，169，183，18431 效用的定义和公理系统一、引言为什么要引入效用 决策问题的特点：自然状态不确定以概率表示； 后果价值待定： 以效用度量。1.无形后果，非数字量(如信誉、威信、出门带伞问题的后果)需以数值度量；2.即使是数值量(例如货币)表示的后果，其价值仍有待确定，后果的价值因人而异。例一：同是100元钱，对穷人和百万富翁的价值绝然不同；对同一个人，身无分文时的100元，与已有10000元再增加100元的作用不同，这是钱的边缘价值问题
2、。例二： 上图作为商业、经营中实际问题的数学模型有普遍意义有人认为打赌不如礼品,即 *由上面两个例子可知：在进行决策分析时，存在如何描述(表达)后果的实际价值，以便反映决策的人偏好次序(preference order)的问题 *偏好次序是决策人的个性与价值观的反映，与决策人所处的社会、经济地位，文化素养，心理和生理(身体)状态有关。 * 除风险偏好之外，还时间偏好。 i, 折扣率 ii,其他 而效用(Utility)就是偏好的量化，是数(实值函数).Daniel Bernoulli 在1738年指出： 若一个人面临从给定行动集(风险性展望集)中作选择的决策问题，如果他知道与给定行动有关的将来
3、的自然状态，且这些状态出现的概率已知或可以估计，则他应选择对各种可能后果的偏好的期望值最高的行动。 二、效用的定义 1.符号 i,AB(即APB)读作A优于B：(Prefer(ed) A to B) AB(即ARB) A不劣于B AB(即AIB) A无差别于B (Indifference) ii, 展望(prospect): 可能的前景 即各种后果及后果出现概率的组合 P=( ) 既考虑各种后果 (consequence) 又考虑了各种后果的概率(probability or likelihood)分布 所有P的集合记作p iii,抽奖(lottery)与确定当量 若 ? ( ; )则称 确定
4、性后果 为抽奖 ( ; ) 的确定当量2.效用的定义(A) 在集合p上的实值函数u，若它和p上的优先关系一致，即: 若 p , iff u( )u( ) 则称u为效用函数三、效用存在性公理 理性行为公理 Von Neumann-Morenstern, 1994 169公理1 连通性 (Connectivity)又称可比性 p, 则 or ? or 公理2 传递性 (Transitivity) p, 若 , 则 公理3 替代性公理 ( 加等量时优先关系不变) 若 p, 且 0 ? ? ? 1 则 对任何 p ,必有 ? +(1-?) ? +(1-?) 或者表达成： ,? 则 ? +(1-?) ?
5、 +(1-?) 即二种后果中，决策人所偏好的后果出现机会较大的情况是决策人所喜爱的。公理4 连续性公理 - 偏好的有界性若 则 存在 0?1, 0?1, ?使 ? +(1-?) ? +(1-?) 由 ? +(1-?) 可知 不是无穷劣,即 u( )? 由 ? +(1-?) 可知 不是无穷优, 即 u( )? ? 即使是死亡，亦不至于无穷劣例：i,过马路 若死亡为无穷劣，则不能过马路 ii,狂犬病疫苗 上述公理看来是合乎理性的，事实上并不尽然.例：Allais 悖论（Paradox 例如，1953年Allais在一次学术会议上提出如下问题，请效用理论权威Svage回答 Savage的回答是A组宁
6、择i， B组宁择ii，Allais指出：B组的i, ii, 均以0.89的$500,000 取代0.89的 $0，即与A组的i,ii,相对应，照公理3、A、B两组中i,ii,的优先关系应当不变。 Savage当时语塞。效用的公理化定义 在上述公理系统中，若p上存在实值函数u，使i, ? 当且仅当 u( ) u( ) ii. u(, ; 1-, )= u( ) +(1-)u( )iii, 对满足上述条件的 , 必有 ( ) =b ( )+c , 其中 b, c , b0则u(P)称为(基数)效用函数*关于线性：将ii. u(, ; 1-, )= u( ) +(1-)u( ) 推广到一般,若 p
7、; 0 , i=1,2,m; =1; 则 u( )= u( )四、基数效用与序数效用 (Cardinal & Ordinal Utility)基数：实数：1，2，3,序数：第一，二，4，3，2，1区别：1.基数效用定义在展望集p上(考虑后果及其概率分布),是实数; 序数效用定义在后果集C上，不涉及概率，可以是整正数2.基数效用反映偏好强度：(正线性变换下唯一) 原数列可变换为:b+c, 2b+c, 3b+c, b+c; 其中 b, c , b0.而序数效用不反映偏好强度，(保序变换下唯一), 原序数列可变换为 16,9,4,1;或 8,6,4,2,或10,7,6,1等.序数效用的存在性公理1.
8、连通性(可比)2.传递性3.对任何确定的后果x，优势集与劣势集均为闭集。(教材：P29 3.1)3.2 效用函数的构造一、离散型的概率分布 后果元素有限各后果效用设定的步骤 NM法 由公理4: 若 ? ? ,则可找到 01, 使 ? +(1-) 第一步： 选定 , ? C , 使 ? 令 u( )=0, u( )=1 所选择的 、 应使比较易于进行.第二步：对 ? ? ,求(01), 使 ? +(1-) 则 u( )=u( +(1-) )= u( )+(1-)u( )第三步：若 ? , 求(01), 使 ? +(1-) 则u( )=u( +(1-) )=u( )+(1-)u( ) ? u( )
9、=/(-1)第四步：若 ? , 求(0 0 u在x 处凹, 风险厌恶 r(x)=-u(x)/u(x) ? = 0 u在x 处线性, 风险中立 ? 0 在x处有递减的边缘价值 m(x)=-v(x)/v(x)=0 在x处有不变的边缘价值 0 在x处有递增的边缘价值3.真正的(相对)风险态度的定义 若m(x)r(x)称为在X区内相对风险厌恶 m(x)=r(x)称为在X内相对风险中立 m(x)=r(x)称为在X内相对风险追求四、风险酬金 kE(x)-S 这是决策人为了避免风险而顾意损失的金额 k=f(v,P) 五、钱的效用1.性质 i, 单调递增：愈多愈好 有界：全世界财富总量不足$ , u( )与u( )几乎无差异 ii, x较小(相
