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1、5数学归纳法数学归纳法新知初探新知初探课前前预习题型探究型探究课堂解透堂解透新知初探新知初探课前前预习教材要点要点数学归纳法(1)概念：用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法(2)步骤：证明：当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数，如n01或2等)时，命题成立；假设当nk(kN，kn0)时命题成立，证明当nk1时，命题也成立根据可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立基础自测基础自测1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)推证nk1时可以不用nk时的假设()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明()(3)不管是等式还是不等式，用数学归纳法证明时由nk到nk
2、1时，项数都增加了一项()(4)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223.()答案：D3用数学归纳法证明“12222n12n1(nN*)”的过程中，第二步nk时等式成立，则当nk1时应得到()A12222k22k12k11B12222k2k12k12k1C12222k12k12k11D12222k12k2k11答案：D解析：因为将式子：12222n12n1中n用k1替换得：当nk1时，有12222k12k2k11.故选D.题型探究型探究课堂解透堂解透方法归纳用数学归纳法证明等式的策略应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：(1)nn0时，
3、等式的结构(2)nk到nk1时，两个式子的结构：nk1时的代数式比nk时的代数式增加(或减少)的项这时一定要弄清三点：代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项代数式相邻两项之间的变化规律代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系方法归纳用数学归纳法证明不等式的四个关键(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若nk(k为正整数)，则n0k1.(2)证明不等式的第二步中，从nk到nk1的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们
4、的大小对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时成立，得nk1时成立，主要方法有比较法、放缩法等方法归纳1“归纳猜想证明”的解题步骤2“归纳猜想证明”解决的主要问题(1)已知数列的递推公式，求通项公式或前n项和(2)由一些恒等式，不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在(3)给出一些简单命题(n1，2，3)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题提醒：计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律；猜想必须准确，绝对不能猜
5、错，否则将徒劳无功如果猜想出来的结论与正整数n有关，一般用数学归纳法证明跟踪训练3设数列an满足a13，an13an4n.(1)计算a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明；(2)求数列2nan的前n项和Sn.【易错警示】出错原因纠错心得数学归纳法能对正整数相关的命题予以证明，正是因为它的两个步骤；第一步是命题成立的基础，第二步，由nk命题成立，推证到nk1时命题也成立，意思是n为一个正整数成立，那么它为下一个正整数也一定成立，这样才能保证命题对从第一个起始值n0开始的任何正整数都成立，所以，第二步在推证nk1时命题成立，一定要用到nk时命题成立这个作为推证的基础，否则这个“多米诺骨牌”就无法全部倒下去，即对后面无穷尽的正整数命题无法成立答案：D解析：当n1时，左边1234.故选D.答案：D答案：D答案：D
