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1、发挥数学的内在力量 为学生谋取长期利益 一、功利化环境下数学教育的问题当今功利化社会环境下，应试教育占据主导地位，注重考试分数、升学率等眼前利益，忽视理性精神、数学水平和全面发展等长期利益。因为教育观点相对落后，教学方法比较陈旧，导致数学教学中出现诸多问题。例如：数学教学“不自然”，强加于人，对提升学生数学学习兴趣不利；缺乏问题意识，对创新精神、实践水平的培养不利；不重视基本概念、核心数学思想的教学，缺少必须的归纳、抽象、概括活动，对提升学生数学素养不利；重结果轻过程，缺少一以贯之的逻辑思考和数学推理活动，损害数学思维过程的完整性，对提升学生数学思维水平不利；解题教学注重“题型+技巧”，学生机
2、械重复、模仿记忆，缺少独立思考，数学思维发展迟缓，并导致学生数学课业负担过重；等等。这些都与“德育为先，水平为重，全面发展”的要求相违背，对“建设人力资源强国”的战略目标不利，对创造性人才培养更不利。能够说，我们的教育培养出来的是考试“人才”，而不是能够真正解决问题的人才。如何改变这种现状呢？我认为，还是要从数学教育内部寻找答案。也就是说，只有全面、清楚地理解数学学科独特的育人功能，从数学教育的内在规律出发，充分发挥数学的内在力量，才能使数学在培养人才（特别是创造性人才）中发挥独特作用。二、数学的内在力量在哪里数学的力量在哪里呢?首先我们能够从数学先哲们那里获得启发。公元前68年，希腊哲学家泰
3、勒斯（Thales）提出不能用神秘宗教来解释自然，要创造一个演绎的方法，利用逻辑的思想来统一自然界与几何的现象。这个思想产生了长远的影响。毕达哥拉斯学派认为，宇宙的实体有两个：一个是数字，万物皆数，数的存有是有限方面的实体；一个是无限的空间，空间的存有是无限方面的实体。数字跟空间结合在一起就产生出宇宙万象。19世纪伟大的法国数学家傅里叶说，数学能够用来决定最一般的规律，同时也能够量度时间、空间、温度，所以数学跟大自然一样广泛、丰富，和大自然走的是相同的轨道，也共同见证着宇宙的包容、简洁、稳定。当代最伟大的数学家之一丘成桐先生说，数学的美，使我们与大自然更接近，大自然的美开阔了我们的胸襟，拓展了
4、我们的视野很幸运的是，自然界的真理往往是极为美妙的。所以从数学的美选择出来的方程、选择出来的图形，往往能够解释大自然里的真理。先哲们的教导让我们理解到，数学与大自然同构，是探索知识和实行科学研究的最重要工具，不但能“证明”大自然的规律，而且通过严密的推理还能发现和“预言”大自然的规律。“数学是思维的科学”，因而数学又是一门“关于内心科学”，所以数学是训练学生思维的不可或缺的学科；同时，思维是智力的核心，所以学习数学又是学习者提升智力水平、培育理性精神的康庄大道。总来说之，从“数学育人”的角度看，数学教育不但能培养学生的空间观点、运算水平、思维水平(特别是逻辑思维)等，使学生掌握理解和解决大自然
5、中各种问题的工具，而且能在培育学生的理性精神上发挥不可替代的作用，使学生的内心世界变得更增强大，这就是数学内在力量之所在。三、数学家的“理性精神”科学崇尚真理，科学家最讲实事求是，不被表象迷惑，总要“打破砂锅问到底”，不找到现象背后的原因誓不罢休，这就是“理性精神”。但在探寻真理的过程中，数学家的理性精神表现得很独特，他们追究的不但是大自然的奥秘，而且也是人的内心奥秘，是那种最本源性的、最本质的东西。我们能够看人类数学史、科学史上以前发生过的事。微积分本质上是研究运动与变化现象的。例如瞬时速度（瞬时变化率），加速度（变化率的变化率）它改变了科学的面貌。但自然科学家与数学家由此引发的思想和行动有
6、很大的不同。物理学家想的是：我还能用“变化率”解释哪些自然现象，得到哪些自然定律？他们由此挖掘到了一座座金矿：热学、声学、光学、流体力学、弹性力学、电学、磁学乃至现代基本粒子理论。他们的态度是：如果微积分确实有用，我们何必一定要知道它为什么有用呢？数学家想的问题却全然不同：“变化率的确切含义是什么？”在某一时刻的速度涉及0/0，“这样做，逻辑上可靠吗？”从一般意义上，速度是“物体从此点出发，走了S m，用了t s，那么速度是m/s”，但这样太粗糙了。物理学家和数学家想到的都是“时间间隔要尽可能地小，能取无穷小最好”，但不幸的是，存有着与“无穷小”相联系的难解的逻辑悖论由此引发了“第二次数学危机
7、”。如果把自己局限于通常词义上的数，那么“无穷小”根本不存有常人无法理解“无穷小”。于是，消除这种“逻辑悖论”就成了数学家的重要工作。数学家这样“吹毛求疵”是不是“杞人忧天”呢？不是！应该有人来思考这些问题！试想，桥梁设计师用标准的数学方法设计了一座桥梁，当你驾车行驶在桥上时，如果你被告知“设计师使用的数学方法是否成立还没有得到证明”，你有什么感觉？如果是乘坐飞机又会怎样？在神州飞船上又会怎样？大概你不敢往下想了吧？更加重要的是，这些问题的思考和解决，才是数学、人类理性思维乃至社会发展的“原动力”。例如，“矩形面积=长宽”是一个中外古今熟知且常用的公式，通常人们把它看成“公理”。但古希腊的几何
8、学家不这么看。由于他们把几何学作为理解宇宙的基础学科，所以特别注重几何的严谨性，高度重视其基本概念的明确性和推理论证的严密性。他们在研究定性平面几何的基础上，以直线段长度的度量为起点和基础，研究定量平面几何，其做法是先取定一个单位长，然后把一个给定线段的长度定义为它和单位长之比值。这样，长度度量这个基本概念的关键在于这个比值的明确定义。公元5世纪前后，古希腊几何学给出的长度度量及相关概念是：可公度性 两个直线段a，b，如果存在公尺度c和整数m，n，使amc，bnc，则称a，b可公度，而a，b的长度比值就定义为分数。然后他们凭直觉认为“任何两个线段总是可公度的”，并以此为依据、为基石，给出了一系
9、列定量几何基本定理（如矩形面积公式、毕达哥拉斯定理、相似三角形定理等）的证明。事情果真这样简单吗？当年，毕达哥拉斯学派的门徒Hippasus并不轻信，他对“可公度性”进行了坚持不懈的钻研。他认识到可以用辗转相除法求最长公尺度（就如用辗转相除法求最大公约数），用这一方法他发现，正五边形的边长和对角线是不可公度的，正方形的边长和对角线也是不可公度的。他的伟大发现是人类理性文明的重要里程碑，“有如发现一个理念上的新大陆，它不仅对定量几何学具有根本的重要性，而且对整个自然科学都有深远影响。”遗憾的是，因为这一发现彻底动摇了毕达哥拉斯学派的根基，而使Hippasus命丧同门之手。不过，“君遗移山志，自有
10、后来人”。为了补正一般不可公度的情形，整个古希腊几何学界经过持续努力，终由Eudoxus开创了影响无比深远广阔的逼近法和逼近原理，这一思想和方法提供了研究和理解Hippasus所发现的新大陆的基础(其本质是“两边夹”，即用可公度线段长度比“逼近”不可公度线段的长度比)。Eudoxus所创立的逼近法，不但简明地“补正”了当年仅在可公度情况下证明的各种定理和公式，使它们在任意情况下都成立，而且彻底重建了定量几何基础论。同时，他接受了把错误“公设”作为几何论证基础的教训，彻底检查了当时的几何学，使其论证体系尽量达到“至精至简”。后来，欧几里得将这些成果用公理化体系整理成原本，使人类理性文明迈向了第一
11、个高峰，并影响至今。显然，可公度性问题的解决，理性思维发挥着决定性作用，同时也是理性精神的伟大胜利。从实用的角度看，力所能及的准确度之下的微量根本没有实质意义，所以“是否可公度”不是问题，当然也不会有Hippasus这种深深触及空间连续性的发现和历经半个世纪的奋斗结晶而得出的Eudoxus逼近原理和方法论。“这是科学史上极其重要的事件，它很可能标志着数学上严格推理的起源。肯定地说，从希腊人的时代直到今天，它一直深刻地影响着数学和哲学。”（柯朗，什么是数学，72）永远不把所谓不言自明的定律视为必然，这就是理性精神的最自然而本质的体现。另外，值得庆幸的是“上帝创造世界，使用的是数学语言”。数学家因
12、为关心数学内部的逻辑可靠性问题而产生的新思想，不仅使数学的根基越来越稳固，而且对数学以外的世界也发挥着根本性的作用。对于观察到的自然现象，我们希望了解它们是如何发生的，为什么会发生，能否预测它们的变化趋势，能否控制它并为我所用等，数学能帮我们做到这些只要能建立一个相应的数学模型就可以了。四、如何发挥数学的内在力量笔者认为，数学教育中，坚持育人为本，提高学生的思维能力、创新意识和实践能力，培育学生的理性精神，提升学生对真与美的感知力的最重要（甚至是唯一）途径是充分发挥数学的内在力量，以数学的抽象之美和无处不在的现实用途吸引学生，建立一门体现学生长期利益与眼前利益完美结合的数学教育科学。具体而言，
13、可以从宏观、中观和微观三个层面来考虑。（一）让学生系统地思考和解决一些真正的数学问题宏观上，我们应紧紧围绕“数量关系”、“空间形式”、“数形结合”和“公理化思想”这四条主线，以那些在数学发展进程中产生过重大影响的、有里程碑意义的数学问题为线索和载体组织数学课程，让学生在体会和认识一些数学本源性问题、思考和解决真正的数学问题的过程中，逐渐学会数学地认识和解决问题的方法，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，培育理性精神。例如：引发某个数学分支创立的基本问题，创立过程中出现的瓶颈，突破瓶颈的关键思想的产生过程，数学分支创立和发展过程的艰辛，数学家在这个创立过程中的伟大贡献和不达目的誓不罢休的精
14、神，以及从直观描述到精确形式化表达的基本过程，经过严格的逻辑推理而形成的概念体系，等等。以数系扩充为例，正整数与人的直觉一致，天经地义。然而，0、负整数、分数、无理数、复数取得“合法”地位，都经历了一个漫长而曲折的过程。让学生返璞归真地择要经历这个过程，对他们理解数学、感受数学研究的“味道”很有好处。至少，我们应该让那些对数学有较浓厚兴趣的、有一定数学天分的学生有机会经历这个过程，实实在在地解决其中的一些典型问题。例如，从自然数到有理数，是为了解决两个方向的需求： （1）生产、生活实际的需求：作为度量工具的有理数，度量时间、长度、面积、体积等能任意细分的量，需要引进“分数单位”的概念，使数的范
15、围扩充到“有理数”。 问题1 为什么把（m，n是整数）叫做“有理数”？“有理”在哪里？因为它的加法和乘法与自然数的加法和乘法有同样的规律！只要我们按如下定义行事，。在此定义下，就可以证明：自然数的算术基本规律，即交换律、结合律、分配律等都成立。问题2 为什么不把加法定义为？逻辑上允许，但与人类直觉相矛盾；从创造一个恰当的度量工具的要求看，没有意义。例如，从度量的角度看是不合适的。（2）数学内部的需求：自然数集中，加法和乘法的“逆运算”不能通行。为此，需要引进符号0以及1，2，3并定义ab时，ab(ba)，以及在“使算术运算的运算律保持不变”的原则下，定义(1)(1)1。与引入0和负整数的数学需
16、求类似，分数的引进使得除法消除了障碍：定义符号，称为分数，它服从b=a（b0）。这样，全体有理数整数和分数、正数和负数的纯算术意义就清楚了。在这一扩展了的数的范围内，不仅形式上的运算律成立，而且保证加、减、乘、除的封闭性这个封闭的数的范围叫做域。问题3 这个扩充过程的基本思想是什么？为什么不定义为(1)(1)1？上述扩充过程，反映了数学推广过程的一个基本思想：使得在原来范围内成立的规律在更大的范围内仍然成立。非常幸运，从自然数到有理数的这一推广，完全满足了用数来表示度量结果的实际需要。顺便指出，由这一基本思想可见，数学的逻辑性很强，不学加法就不可能学乘法。本世纪之交的数学课程改革因为破坏了数学的逻辑体系，破坏了数学基本概念的逻辑结构，因而导致我国数学教学质量的持续下降。这个教训非常深刻。
