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1、 轨迹问题与对数螺线一 轨迹问题1 问题的提出 作为匀变速直线运动与匀速圆周运动的共同推广,考虑下面的问题: 给自由粒子施加一个力,并保持力的大小及其与粒子速度的夹角不变,则粒子将沿着怎样的轨迹运动?2 分析与解答 设:粒子的质量为m ,初速度为;施加的力为,与粒子速度的夹角为(即:将逆时针旋转后与同向),0=2。 显然,=0或时做匀变速直线运动,=/2或3/2时做匀速圆周运动;而其它情况下,粒子将沿着一类螺旋线顺时针或逆时针运动。本文主要求解及讨论此螺线。求螺线方程似乎该用极坐标系,然而行不通,因为只有在确定方程之后才能确定合适的极点。 所以首先建立自然坐标系(,)如图示(为到的角): 根据
2、牛顿第二定律: 又 (式为本题之关键) 再建立直角坐标系,使与同向,原点在起点则 由(I)、(II)解得: (详见附1) 其中 二 方程的化简 为化简(*)式,宜作如下代换: , , ; , 。 于是,(*)式化为: 其中 与的物理意义是显然的,分别代表粒子在作用下,速率由增加到所发生的位移和所用时间。 现在,令 、,容易看出,粒子轨迹方程的极坐标形式为: 这是一条对数螺线,形状如下图示: 三 纵使变化 依然故我对数螺线又称等角螺线。若一条曲线在每个点 P 的切向量都与某定点 O 至此点 P 所成的向量 夹成一定角,且定角不是直角,则此曲线称为一条等角螺线,O 点称为它的极点。 对于等角螺线的
3、探讨,以伯努利(J. Bernoulli, 16541705年)的成果最为丰硕。他发现将等角螺线作某些变换时,所得的曲线仍是全等的等角螺线。这些变换包括:求等角螺线的垂足曲线 ;求等角螺线的渐屈线;求等角螺线反演曲线;求等角螺线的焦线;将等角螺线以其极点为中心作伸缩变换,由于这些变换都可以使等角螺线再生,这个现象使伯努利大为欣慰,所以,临殁遗言要将等角螺线的这些性质刻在他墓碑上,同时题上一句话:Eadem mutata resurgo(纵使变化,依然故我)。 自然界中对数螺线很普遍。许多贝壳都很接近等角螺线的形状,象鼻、动物的角与毛等都呈对数螺线形。在植物中,向日葵、菠萝与雏菊上的螺纹也都呈对数螺线形。下图是鹦鹉螺的横截面,这么美的线条,令人不得不佩服造物之奇。 (来自等角螺線及其他)A:附录.doc