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1、微积分初步第三讲时间：2013年10月23日星期三晚上6： 308： 30时第四章 不定积分与定积分一、不定积分的概念(一) 原函数与不定积分的概念1、原函数的概念定义4.1 (课本P.90)设f是定义在区间D上的函数，若存在 函数F，使得对于区间D的任意x均有F(x) = f (x)(或 dF(x) = f (x)dx)则称F(x)为f (x)在区间D上的原函数。2、不定积分定义4.2 (课本P.90)函数f (x)的全部原函数称为f (x)的不定积 分，记作j f (x)dx3、不定积分的几何意义如果F(x)是f (x)的一个原函数，f (x)的图形称为f (x)的积分曲 线。因为f (x
2、)的不定积分为j f (x)dx = F (x) + c由于c的任意性，因此，不定积分的几何意义是f (x)的全部积分曲线 所组成的曲线族，其表达式为y = F (x) + c(二) 不定积分的性质与积分基本公式1、不定积分的性质 不定积分与求导数(或微分)互为逆运算 被积表达式的非零常数因子可以移到积分号之前 两个函数代数和的不定积分等于其分别不定积分的代数和2、积分基本公式 J 0dx = c J 欢 dx = 欢+1 + c，J % = ln|X + ca +1x J axdx = + c， Jexdx = ex + cIn a J sin xdx = - cos x + c， J co
3、s xdx = sin x + cJ 1, J 1/,J -dx = tan x + c， Jdx = 一 cot x + ccos2 xsin2 x二、换兀积分法和分部积分法1、换兀积分法(凑微分法或第一换兀积分法)2、分部积分法三、定积分(一)定积分的定义设函数f (x)在区间a,。上连续，F(x)是f (x)的一个原函数，数值F (b) - F (a)称为函数f (x)在区间a,对上的定积分，记为廿(x)dx，即Jb f (x)dx = F(b) 一 F(a) = F(x)|b对定积分的概念，应注意：1、定积分的数值与积分变量无关2、选取哪个原函数无关紧要3、变上限积分f xf (t )
4、dt = F (t )| x = F (x) - F (a) aa从而j，f (t)dt = f (x)4、规定 ff (x)dx = -fa f (x)dx，fa f (x)dx = 0aba(二) 定积分的性质1、b f (x) 土 g (x)dx = fbf (x)dx fbg (x)dxaaa2、fbkf (x)dx = k fbf (x)3、fbf (x)dx = fc f (x)dx + fb f (x)dxaac(三) 定积分的计算1、换元积分法2、分部积分法无限区间的广义积分f+8 f (x)dx = lim fbf (x)dxab-+8 a微积分初步作业3解答不定积分，极值应
5、用问题一、填空题(每小题2分，共20分)1. 若f (x)的一个原函数为ln x2，则f (x) =。解：由已知可知f f (x) dx = In x2 + c一一 2所以f (x)=x2. 若f (x)的一个原函数为x e-2x，则f f(x) =。解：由题意f f (x)dx = x - e-2x所以 f (x) = 1 + 2e -2 x因此 f (x) = - 4e -2 x3. 若f f (x)dx = xex + c，贝f (x) =.解：上式两边同时求导，得f (x) = ex + xex = (1 + x)ex4.若 J f (x )dx =sin 2x + c，解：上式两边同
6、时求导，得f (x) = 2cos2 x5.若 J f (x)dx =x ln x + c，贝g f (x)=解：上式两边同时求导，得f (x) = ln x +11所以f (x)=x6.若 J f (x)dx = cos 2x + c，则 f(x)=解：上式两边同时求导，得f (x) = - 2sin 2x所以 f(x) = - 4cos 2 x7. dJe-x2dx =解：d J e - x 2dx = e - x 2dx8. J (sin x)dx =解：J (sin x)dx = sin x + c9.若 J f (x)dx = F(x) + c，则 J f (2x 一 3)dx =解
7、：J f (2x - 3)dx = 1J f (2x - 3)d (2x - 3) = 1F(2x - 3) + c2210.若 J f (x)dx = F (x) + c，则 J xf (1 - x2)dx =解：Jxf(i-x2)dx = -2Jf(1-x2)d(1-x2) = -2F(i-x2)+c二、单项选择题(每小题2分1.下列等式成立的是().A. gJ f (x)dx = f (x)dxC. dJf (x)dx = f (x)共16分)B. Jf(x)dx = f(x)D. Jdf(x) = f(x)解：应选A2 .若 J f (x)dx =炬 + c，则 f (x)=A.ln|
8、ln x|1 - In x C.X 2解：两边同时求导，得:所以应选CIn xB,xD. ln2 x1.-x - ln x f (x) =-x21 - ln x3.若 j f (x)dx = x2e2x + c，则 f (x)=().A. 2xe2x (1 + x)B. 2x2e2xC. 2xe2xD. xe2x解：两边同时求导，得：f (x) = 2 xe 2 x + 2 x 2 e 2 x = 2 xe2 x (1 + x)所以应选A4.若 f (x) = x +x(x 0)则f(x)dx =().A. x + .：x + cB.D.解：应选A5.以下等式成立的是(A. 3xdx =坐ln
9、3B.dx=d(1 + x 2) 1 + x 2C.写=d.x vx1 D.ln xdx = d()x解：应选Aj xf ( x)dx = (6.A.xf (x) - f (x) + cB. xf (x) + c1D. (x +1)f(x) + cC.-x2f (x) + c解：j xf (x)dx = j xdf (x) = xf(x) - j f(x)dx = xf(x) - f (x) + c所以应选A7. dj a-2xdx =().D. a2xdx + cA. a 2x b. - 2a2x Inadx c. a2x(h:解：应选C 18.如果等式j= eL+C ,则 f(x)=()1
10、111A,-B,-c.D.XX2X2i i 1解：两边求导，得：/(x)e-.v =-e-. X2一 1所以f (x)=，故应选BX2三、计算题(每小题7分，共35分)f 3 - vX3 + xsinx1. Jdxx(*3 Jx3 + xsinx i cl* 1 7 f r , f .7解：Jdx = 3 J ax - J 7 xdx + J sm xdxxx2 3=31nx- X2 -cosx + c3解：J(2x-l)wdx ij (2x-l)iotZ(2x-l) -(2x-l)w+i +22 10 + 11=_(2x-l)n +c22.1sm 3. JX2. 1r smr.解：f V 1
11、f . 1 z/ 11J-ax = -J sin a () = cos + cX2XXX4. J xsin 2xdx解：f X sin 2xdx =xd cqsIx =-x cos 2x- cos 2xdx)11xcos2a： + sin 2x + c245. J xe-xdx解：f xe-xdx -f xde-x = -(xe-x j e-xdx) xe-x e-x + c四、极值应用题（每小题12分，共24分）1设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。解：设矩形的一边长为x厘米，则另一边长为60 - x厘米，以60 -
12、x厘米的边为轴旋转 一周得一圆柱体，则体积V为：V =兀x2（60 x），即：V = 60Kx2 一兀x3dVdV=120 m 3m 2，令一 =0，得:dxdxx = 0 （不合题意，舍去），x = 40，这时60 x = 20由于根据实际问题，有最大体积，故当矩形的一边长为40厘米、另一边长为60厘 米时，才能使圆柱体的体积最大。2.欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？解：设矩形的长为x米，则矩形的宽为坐 米，从而所用建筑材料为：x,c c 216, c 648L = 2 x + 3，即：L = 2 x + xxdL 648d = 2 一 U，dL令云216=0得：x = 18 （取正值），这时=12x由于根据实际问题，确实有最小值，故当矩形的长为18米，宽为12米时，才能使 所用建筑材料最省五、证明题（本题5分） 函数f （x） = x ex在（ 8,0）是单调增加的.证明：因为 f(x) = 1 ex，当 x g ( 8,0)时，f(x) = 1 ex 0所以函数f （x） = x ex在（-8,0）是单调增加的.
