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1、资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。多维空间的初步研究重庆市第三十七中学 高 级8班 周 讯 (400084)指导教师 杨天才摘要 本文运用已有的几何知识去大胆地猜测多维空间及多维空间下的多维几何图形的存在, 并巧妙地利用了维数类推法、 降维思考法、 穿越空间法、 动态增维模拟法和纸面模拟法等五种方法, 成功地研究了纯数学的多维几何空间, 构建了适合于多维空间的几何模型, 总结出多维几何图形所满足的纯数学规律共计约120个结论, 其中有些结论是事先没有想到的或难以置信的, 并提出了尚待解决的几个问题。最后将这些结论归类, 编成了一本适合高校学生的教材, 教材中主要采用
2、循序渐进的思维方式编排, 从发现问题开始, 经过观察猜测, 最后严谨证明。其实, 有太多的代数、 几何规律被悄无声息地掩埋在我们这个维数仅有三维的空间中而没有表现出来。只有冲破维数的局限, 在多维空间中, 代数与几何才能真正完美的结合, 这是思维的飞跃与创新! 关键词 四维、 四维空间、 多维、 多维空间、 多维几何1引言课题的提出从几个问题开始: 一个三角形有3个顶点、 3条边, 三棱锥有4个顶点、 6条棱、 4个面, 一个正方形有4个顶点、 4条边, 正方体有8个顶点、 12条棱、 6个面。正方形的对角线长, 正方体的对角线长。圆的面积为R2, 球的体积为4/3 R3 一种科学的直觉告诉我
3、, 上面的数据一定存在一种关系, 我得想办法弄清楚。可是, 数据太少了。仅仅从正方形的4条边和正方体的12条棱, 又能看出什么呢。但至少有一点我很明确: 这是由于空间维度的差异造成的。点动成线、 线动成面、 面动成体。这里面也有空间维度的关系。点是零维的, 一条线是一维空间, 一个面是二维空间, 一个立方体的内部空间是三维空间, 那么”体动”成什么? 相信每个人都曾经问过或想过, 想象一个立方体在空间中运动的情景, 然后定论: 体动成体。直觉告诉我这是错误的, 因为”体动成体”令数学显得似乎不那么完美。假想在一个二维的平面内, 同样有”二维人”居住, 她们只能感觉到前、 后、 左、 右四个方向
4、, 假设她们根本感觉不到上和下, 那么在这种情况下, 由于她们还不知道能够将一个面向上、 下运动。她们就会定论: 面动成面。看来, 这是运动方向的问题。体是三维的, 它运动后形成的轨迹就可能是四维的, 只是我们找不到这个特殊的方向, 因为它根本不在我们的三维空间内, 就像面动成体的方向根本不在”二维人”生活的平面内一样。假设我们找到了这个方向, 就一定能将体运动形成四维的轨迹。有了四维的图形, 就一定有承载它的四维空间。在一条线上, 只有两个方向, 在平面上有前、 后、 左、 右四个方向, 三维空间中有上、 下、 前、 后、 左、 右六个方向, 那么, 在四维空间中就应该有八个方向! 而且在四
5、维空间中能够作出4条直线两两垂直交于一点, 而在三维空间中绝对做不到。有了四维空间的概念, 我又提出了下面一连串的问题与猜想: 矩形有长和宽, 立方体有长、 宽、 高, 那么四维的”立方体”就一定有长、 宽、 高, 和一个四维量。那么五维、 六维甚至更多维呢? 平面上两条直线非平行, 即相交, 可到了空间中就不一样了, 两条直线能够既不平行, 也不相交( 异面直线) 。那么在四维空间中, 能不能找到两个平面既不平行, 也不相交? 一条穿过平面的直线, 在平面内形成唯一交点。那么当直线穿过我们的空间时, 在空间内形成什么呢? ”二维人”手里的一条线, 再怎么弯曲也只能呆在平面内, 而我们将线随手
6、打一个结, 就能够让它不在任何一个平面内。我们不妨试试, 如何打结能够让一条线不在任何一个三维空间内, 这就形成了一条四维的曲线! ”二维人”学的几何中, 只有平面图形。她们的几何书是这样写的: ”一条直线能够将整个空间( 指二维人生活的平面) 划分为两个区域”。而在我们看来, 一个平面才能将空间隔成两部分。可是我们怎么也没想到, 尽管是一个无限延展的平面穿过一个很小的四维空间, 也不能将其隔成两部分! 如果一个”二维人”看见立体几何书上写着”两相交平面”, 她定会感到疑惑不解, 因为她自己就生活在其中一个平面内, 想象不到两平面相交。就象让我们去想象相交的两个三维空间一样。这真是”不识庐山真
7、面目, 只缘身在此山中。”我们是不是能够学习一下”二维人”研究立体几何的科学态度, 去研究一下四维空间? 如果把”二维人”生活的平面扭曲, 变成一个球面, 会有什么结果呢? ”二维人”会发现她无论向什么方向直线前进, 都会回到原处。如果这个令”二维人”惊讶不已的事实让你并不觉得奇怪, 那么以下的情形你定会吃惊不小: 在太空中, 无论向什么方向飞行, 不久后都会回到原处! 其实想想不过就是我们的空间被扭曲成了四维的”球”而已。如果还想要讨论得深入一些, 不妨试试球穿越问题。比如说一个球穿过一个二维平面, ”二维人”会发现平面上凭空冒出一个慢慢变大的点, 后来眼看着扩张成圆, 又慢慢缩小成点, 最
8、后突然消失。如果在你面前无中生有地出现一个点, 扩成球又缩回点, 再消失。不要奇怪, 其实这只不过是四维球穿越三维世界的情形。这样的空间和图形多么奇妙! 一种强烈的欲望促使我决定要将上面的问题一一研究清楚, 就像二维的小人攀登三维的金字塔! 带着这些问题, 我便在老师的帮助下开始进行研究。由于在上述的四维时空中牵涉着许多物理因素, 其中一些是我们已知的, 还有一些物理因素是我们未知的或者是难以定论的, 因此我的研究范围定在纯数学的多维空间。希望能够经过自己的研究, 得出纯数学多维空间的各种性质, 以及各种多维几何图形的空间简图和它遵循的简单运算规律。最后全面总结研究成果, 编写教材初级多维几何
9、, 鼓舞更多的同学投入到多维几何的创新研究中来。2研究方法我除翻阅各种参考资料、 上网查询资料、 编写电脑程序解决难以解决的问题以及和专家、 老师交流听取意见外, 在研究和想象多维几何图形时, 我还经常见到五种方法, 这些方法能够帮助我解决一些原来无法解决或很难解决的问题。如下: 2.1维数类推法大多数多维问题在维数上具有规律, 在遇到一个多维问题时, 先从相应二维和三维的等效问题入手, 总结规律, 猜想结果, 最后再加以证明。正所谓: 大胆假设, 小心求证。2.2降维思考法同样大多数的多维问题能够用降维思考法。先来看一个问题: 设法想象在一个四维球表空间( 扭曲的空间) 中的球体逐渐扩大的情
10、景。想象这个情景非常困难, 何不降一维思考呢? 将四维球表空间降一维, 变为三维球面, 又将四维球表空间中逐渐扩大的球降一维, 看作是球面上逐渐扩大的一个圆。这样思考, 问题就变得简单多了。2.3穿越空间法穿越空间法, 就是将一个四维图形匀速穿过一个三维空间, ( 如同立体图形穿越平面) 这种方法能够将静态的四维图形变为动态的三维图形, 其实从本质上就是利用了”时间”这个工具, 默认了时间轴为四维轴。2.4动态增维模拟法计算机能够实现这种方法。如在二维的电脑屏幕上显示出三维的, 转动的图画, 这就是一种动态增维模拟法, 它能够在二维空间中模拟出动态的三维模型。同样的, 在想象一些四维几何图形的
11、时候, 能够将其转动并投影在三维空间中, 这样我们就能想象并研究一些四维图形了。2.5纸面模拟法将一张画有正方体的纸水平放置, 或随意扭曲,用不同的角度去看它, 就能看见四维空间中三维空间的透视情景。3研究过程下面仅以四维球的研究过程为例说明主要的研究过程。初中学过圆的概念: 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合。学了立体几何后知道: 空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面。问题出来了, 在四维、 甚至N维空间中, 到定点的距离等于定长的点的集合又是什么呢? 是什么形状呢? 所占的空间多大呢? 运用维数类推法, 从最简单的图形入手: 在一维空间中, 到定点的距离小于等于定长的点的集合是
12、一条线段, 令定长为, 这条线段的长度即所占一维空间的大小为.在平面即二维空间中, 到定点的距离小于等于定长的点的集合是一个圆面, 令定长为R, 这个圆面的面积及所占二维空间的大小为.在立体即三维空间中, 到定点的距离小于等于定长的点的集合是一个球体, 令定长为R, 这个球体的体积即所占三维空间的大小为.在此定义, 在N维空间中, 到定点的距离小于等于定长的点的集合, 我们把它叫做N维球。如: 上述在一维空间中的线段是一维球; 圆面是二维球; 球体是三维球。问题: 怎样建立一个四维球模型? 我们能够这样尝试: 将一条线段绕其端点旋转一周所形成的图形是一个圆, 将这个圆以其直径为轴旋转一周所成的
13、图形是球, 球再旋转呢? 那不还是球! 不能将球像想象中的那样旋转, 线段的旋转是以一个点为旋转中心; 圆的旋转是以一条线为旋转中心; 那么球就必须以一个面为旋转中心, 可是, 我们怎能想象这样的旋转! 于是, 这个问题变得无从下手, 只好另求思路。在一个平面直角坐标系中, A( x1, y1) 和B( x2, y2) 的距离为: .在空间直角坐标系中, A( x1, y1, z1) 和B( x2, y2, z2) 的距离为: .取定点为原点: 定长为R, 则平面中到定点的距离小于等于定长的点的集合为.是一个圆面。如图一: 这个圆能够看作是无数条线段沿y轴方向上的集合, 每条线段的长度: ,图
14、中.在立体空间中, 到定点的距离小于等于定长的点的集合为.是一个球。如图二: 这个球能够看作是无数个圆面, 沿z轴方向上的集合, 每个圆面的半径: , 图中.在研究纯几何概念的四维空间时, 我们引入一条新轴t轴同理, 在纯几何概念的四维空间中, 到定点的距离小于等于定长的点的集合为.同样的, 它能够看作是无数个球沿t轴方向上的集合(值得注意的是, 一定是沿t轴方向上的集合),每个球的半径.这下心里有数了: 这个纯几何四维模型即无数个球沿t轴方向上的集合, 其半径变化规律满足.它是在四维空间中到定点的距离小于等于定长的点的集合, 我们称它四维球.模型建立了, 下一步工作就是算出四维球所占的空间大
15、小。上文提到: 圆能够看作是无数条线段沿y轴方向上的集合, 这里我们把圆看作是2n个矩形拼成的图形。如图: x轴两侧各n个矩形, 圆的半径为R, 每个矩形的高为R/n, 从x轴开始往下数第i个矩形的长, 可由勾股定理算出为: .即: .则第i个矩形的面积即所占二维空间为: .则所有矩形的面积和为: .当时, 2n个矩形的面积和就无限接近圆的面积, 于是圆的面积即所占二维空间为.在高二的立体几何教材中介绍了球体积的算法: 用一组平行于半径为R的半球底面的平面将半球分为n小片, 每片厚度为, 每片体积即所占三维空间近似等于, 其中可由勾股定理求得, ( i=0, 1, 2, 3, , n-1) .
16、n片的体积和为: 当, 时, n片体积之和就无限接近于半球的体积, 于是半球体积是,球的体积即所占三维空间为.如果用同样的方法将四维球切成”片”,每一片即为一个半径为的球在t轴上的一定量的累积, 累积的量等于”片”的厚度, i、 n的取值同上, 算出四维球的所占空间, 问题也就解决了。下面, 我们就开始计算四维球的所占四维空间的大小。按照以上的方法, 将四维球的一半切成n片, 每一片近似为一个”四维类圆柱体”。又一个新的四维几何图形出来了: 四维类圆柱体。在三维直角坐标系中, 圆柱能够看作是无数个平行于x-y平面的半径为的圆在z轴正方向上的集合。那么, 在四维直角坐标系中, 四维类圆柱体是无数个在不同时刻的三
