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1、1.4 数学概念教学的典型案例分析“函数单调性”的教学案例一、情境的创设师：一个月前，我们共同经历了一起令人恐怖且终身难忘的自然灾害，大家还记得吗？生：（异口同声）“桑美”台风.师：从小到大我们对台风的了解也不少，台风是不是一生成就是17级呢？生众：（笑）不是.（教师用多媒体展示“桑美”台风强度变化的直方图，如图1-6）x 时间（h）12）24）36）4860）012）14）10）17）8y 强度(级)y=x2(x0)x 123-10941y 图7 图8图1-6 图1-7师：如果我们以台风生成后的时间为自变量，台风的强度为函数值，建立一个函数关系，能否得到以下结论台风的强度随时间的增大而增强呢
2、？（学生有的说对，有的说不对，教师不急于揭示答案，而是把学习目标引向了函数关系中两个变量变化大小的相互依赖关系上.学生所熟悉的生活实例是激发学习兴趣的手段，也是学生理解函数单调性概念的现实背景）.师：大家一起来观察函数图像中的值与值的动态变化过程（教师用多媒体展示图1-7），与之间有什么样的联系？生：随取值的增大，相应的的值也增大.师：这种随值的增大，的值也越来越大的函数，我们称为增函数.类似的，观察函数图像的动态效果，这种随值的增大，的值越来越小的函数，我们称为减函数.说明：通过一个生活背景的实例和函数图像的直观观察，产生了增、减函数的生活语言的描述性定义，尽管这种定义不严格，但学生初步理解
3、到的是两个变量之间具有依赖性的增减关系，这是函数单调性中最为基本和初始的思想，也是从生活中的原初思想迈向数学概念的关键性的第一步.事实上，这一阶段是对函数单调性的概念进行了第一次归纳由实际背景转化为文字语言的叙述.二、概念的形成师：那么，函数究竟是增函数还是减函数呢？生1：是增函数.生2：是减涵数.生众：（有的说）有时增，有时减（有的说）既增又减（有的说）要分情况考虑.师：好，有同学说要分情况考虑，那么，大家再仔细看看的图像，哪种情况下增，哪种情况下减呢？生：函数在上为减函数，在上为增函数.师：由上面的讨论可知，函数的单调性与自变量的范围有关，一个函数并不一定在整个定义域内是单调函数，但在定义
4、城的某个子集上可以是单调函数.于是我们可以这样下定义：如果函数在某个区间上满足：随自变量值的增大，的值也越来越，我们说函数在该区间上为增函数，该区间叫函数的增区间；如果函数在某个区间上满足：随自变量值的增大，的值越来越小，我们说函数在该区间上为减函数，该区间叫函数的减区间.回顾关于“桑美”台风的话题，有学生指出台风的强度不可能随着时间的增大而不断地增强下去，因为登陆后台风的强度自然会逐渐减弱.因此，台风的强度在登陆之前随时间的递增而增强，而在登陆之后随时间的递增而减弱.说明：这一阶段，教师抓住“分情况讨论”，使学生认识到函数的单调性与其定义域密切相关，因此，在描述函数单调性时，应该说清楚在哪个
5、范围内，从而使学生对单调性的理解，从图像的直观体验向数学的严格性迈进了一步.事实上，这一阶段是对函数单调性的概念进行了第二次归纳由文字语言的叙述转化为数学叙述.三、概念的符号化师：刚才我们通过观察图像，得出了函数在区间上为单调递增函数.那么，如何用代数方法证明这个结论呢？生1：因为，而，所以函数在区间上为单调递增函数.生2：这样的证明不对，仅仅两个数的大小关系，不能说明函数在区间上为单调递增函数，应该举出无数个（如表1-1） 表1-1:自变量与函数值的取值 表1-2:自变量与函数值的取值012-123450141491625（由于很多学生不能分清“无数”和“所有”的区别，所以许多学生对学生2的
6、说法表示赞同，因为表格中的数据直观显示出随的增大越来越大.）生3：这样的证明似乎还有些不妥吧！比如函数，取下列的无数个实数（如表1-2），显然也随的增大而增大，是不是也可以说函数在区间上是增函数呢？可这与图像矛盾啊？（众学生一脸茫然，感觉学生3说的没错，于是用期待的目光盯着教师）师：“无数个”能不能代表“所有”呢？比如：2、3、4、5有无数个自然数都比大，我们能不能说所有的自然数都比大呢？生众：（恍然大悟）生4：那我们总不能把所有的数都列举出来吧？那一辈子都做不完哦！师：的确如此，那你有没有什么好的办法解决这个问题呢？（大家都看着学生4，学生4低下了头没办法解决）师：我国召开全国人民代表大会的
7、时候，是不是全国所有的老百姓都去北京开会呢？生：不是师：那人民如何行使权力呢？生：通过人民代表.生5：我们也可以在区间上选两个代表啊！师：那该如何选代表呢？选1和2怎么样？生5：不行，因为1和2仅仅代表了它们自己，并不能代表区间上的所有实数，应该用字母来代替具体数字，比如设为区间上的两个任意实数，当时，只要证明，就能说明它在区间上是增函数了.师：很好.赋予为区间上“代表”的身份，那么当时，怎么证明，即呢？生6：作差比较，只要证明即可. ，因为，所以，.师：刚才的证明，关键是选取了是上的“任意”两个实数，这里“任意”二字使得代表了上的所有实数，也就是说这个不等式对于区间上的任意实数都是恒成立的.
8、通过这种方式，解决了我们“一辈子”都做不完的工作， 这样，我们可以再次给出增函数和减函数的定义：对于函数，如果对其定义域内某个区间上的任意两个自变量，当时，都有，那么就说函数在这个区间上为增函数；当时，都有，那么就说函数在这个区间上为减函数.说明：这一阶段是学生的概念形成的关键过程，教师通过一系列的本原性问题，使学生突破了思维的瓶颈，让学生感受到：通过用任意的点和的大小关系来判断和的大小关系，可以得到函数单调性的整体性质.这既让学生理解了教师最终给出的严格的单调性的含义，也让学生体验到了如何用局部点的任意性，推演到函数的整体单调的性质.事实上，这一阶段是对函数单调性的概念进行了第三次归纳由数学
9、叙述转化为数学符号叙述.四、概念的形式化师：我们来比较一下增函数与减函数定义中，两个不等式中不等号的方向，你有什么发现吗？生：增函数不等号方向一致，减函数方向相反.师：如果将增函数中的“当时，都有”，改为“当时，都有”，结论是否一样呢？生：一样.师：如果改为“当时，都有”，是否还是一样呢？生：一样.师：改为“当时，都有”，是否还是一样呢？生：还是一样.师：减函数的定义是否也可以进行这样修改？生：可以.师：根据刚才的分析，有没有发现自变量的差量与函数值的差量之间的关系？生：自变量的差与相应的函数值的差，如果保持同号就说明其是单调递增函数，如果保持异号则是单调递减函数.师：你能否将定义修改，使其更
10、为简洁呢？生：如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量，若，则函数是增函数；若，则函数为减函数.师：很好，事实上，的符号决定了函数的单调性，我们不仅要能从图像上直观判断函数的单调性，更应该要从单调性的本质上来理解这个概念.能用这种表达形式来描述函数的单调性，说明大家对单调性概念的理解是比较深刻的.说明：这一阶段教师引导学生对函数单调性的概念进行了剖析，带领学生深入定义的表达形式，探索概念的本质，实现了从具体到抽象的转化.事实上，这一阶段是对函数单调性的概念进行了第四次归纳由数学符号叙述抽象到了形式化.五、概念的理解例1 判断下列命题的真假：（1）定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增
11、函数，则函数在上是增函数.（2）定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数.说明：通过上述两个命题的真假判定，旨在使学生能借助图形直观，理解连续函数、间断函数的单调性情况，从而帮助学生建立起对函数单调性概念的正确理解.六、概念的运用例2 物理学中的玻意耳定律（为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，使其体积减小时，压强将增大，试用函数的单调性知识说明其原因.例3 设集合，集合，试写出集合到集合的两个增函数.课后思考：设函数，求实数的取值范围，使在区间上为单调函数.说明：上述两个问题设计的主要目的，是通过解决一些具体问题，来真正理解函数单调性概念的本质.通过对这类问题的
12、解答和辨析，学生对概念的理解程度更加深入.【案例分析与评价】数学概念的教学，一般都要经历概念的形成、概念的表述、概念的辨析、概念的应用等阶段.在数学概念教学中，很多教师往往不注重概念的形成过程，只重视概念的运用，忽视数学知识的产生与形成的重要阶段，强行地将一些新的数学概念灌输给学生，无从体现学生的主体性，严重影响学生形成正确的数学观，阻碍了学生的数学能力的发展.本设计改变了以往纯学术形态的形式，或单纯注重应用的倾向，一定程度上具有了教育形态的特征.借助对函数图像的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化的数字特征，从而加以解析研究，进行严格的数学刻画这样，通
13、过让学生经历函数单调性的形式化过程，体验了函数单调性概念的产生、发展过程，加深了学生对函数单调性的本质的理解.同时，可有效促进学生掌握研究函数性质的一般方法，即通过数与形结合的方式，由直观到抽象，由特殊到一般，以此来分析问题和解决问题.总之，在数学概念教学中，如何设计有效的问题情境，以充分调动学生参与课堂教学活动，使学生经历观察、分析、类比、猜想、归纳、抽象、概括、推广等思维活动，从而使学生参与和体验数学概念的产生过程，提高他们对数学的认识水平，这是数学概念教学要研究和解决的首要问题.以上的教学设计中，体现了数学新课程的基本理念，即让学生不断地经历直观感知，观察发现、归纳类比、抽象概括、反思建构等数学思维过程；通过函数单调性概念的形式化过程的学习，体会其中所蕴含的数学思想方法，培养学生的数学抽象能力； 以上的教学设计中，渗透了建构性教学思想、问题性教学思想、主体性教学思想、采用探究与发现式教学方法，顺应了学生的思维特点和规律，遵循了循序渐进的原则、直观性原则等。3
