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1、函数的单调性上大附中 周继彦【教材分析】 1 本节课使用的教材是上海市二期课改高级中学课本数学（高中一年级第一学期）（上海教育出版社）中的第3章第4节“函数基本性质”中“函数的单调性”的第一节课。2 本节课的内容是研究增函数和减函数的定义，以及如何来证明函数在区间上的单调性。【学情分析】1 学生通过前一阶段的学习，已经对函数有关的一些基本概念有了一定的了解，也具备了一定的函数基本思想。2 执教对象为市重点学校的学生，对数形结合等一些基本的数学方法有一定的认识。【教学目标】（一）知识与技能目标学生通过经历观察、归纳、总结、证明等数学活动能够：1理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义2会根据函
2、数的图像判断函数的单调性3能根据单调性的定义证明函数在某一区间上是增函数还是减函数（二）过程目标1培养利用数学语言对概念进行概括的能力2利用定义证明单调性，进一步加强逻辑推理能力及判断推理能力的培养（三）德育目标（情感、态度和价值观）1通过本节课的教学，启发学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好习惯2通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，学生通过积极参与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心【教学重点】函数单调性的定义及单调性判断和证明【教学难点】函数单调性的判断和证明【教学背景】函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过,但只是从图象上直观观察图象
3、的上升与下降,而现在要求把它上升到理论的高度,用准确的数学语言去刻画它.这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的,因此我在概念的形成上重点下功夫.单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的,许多学生甚至还搞不清什么是代数证明,也没有意识到它的重要性,所以单调性的证明是教学中的难点.【教学方法和学法指导】1教学方法：本节主要采用“引导探究法”,过程如下：激发兴趣通过日常实例函数的单调性定义判断建立新旧知识联系复习一次函数、二次函数的图像观察图像自变量随函数值如何变化探求定义为突破难点作准备理解判断或证明思路实例讲解引导
4、学生归纳判断函数单调性的方法和步骤巩固变式训练2学法指导：观察、分析，总结归纳、练习巩固【教学过程】教学环节教师活动学生活动教学设计意图说明1、创设情景，引入新课问题的提出：（实例）篮球抛出时高度随着时间如何变化？看、听、思考、回答1、创设一个有利情景，激发学生的学习动机，启发学生主动参与探索学习2、展示单调性思维背景2、尝试、探索，讲授新课问 题(1)观察函数与的函数值随自变量x变化的规律xyoyo(2)、观察函数的图像，函数值y随自变量x如何变化的x观察 、回答尝试、探索设问，为给出函数单调性的定义做准备(将函数的图像分为两部分让学生观察，使学生能够比较容易看出函数值y随自变量x如何变化的
5、)2、增函数、减函数定义如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量，当时都有，则称在这个区间上为增函数；如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量，当时都有，则称在这个区间上为减函数；3、函数单调性定义如果函数y= f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y= f(x)在这个区间上具有（严格的）单调性，这个区间叫做y= f(x)的单调区间 说明几点：（1）严格的含义单调性揭示的是一种严格的不等关系；（2）图像的特点函数的单调性是对定义域内某个区间而言的；思考强调几点加深对定义的理解3、例题设计例1 （图象法） 见图3-9例2 （定义法） 见例4、例5 例3 （求单调区间）见例
6、6引导学生掌握用图像及定义判断单调性，会求简单函数单调区间例题的设计，是为巩固所学知识，同时调动学生的积极性与主动性4、变式训练1判断函数的单调性并给以证明2证明函数 在思考：(1)能说函数在上是减函数吗？(2)如果，函数是增函数还是减函数？(3)能说函数在上是减函数吗？(4)能说函数在上是减函数吗？学生练习加强对定义的理解同时渗透了实践认识再实践再认识的辩证唯物主义观点1、练习紧扣课本，便于学生掌握所学知识，加强理解。2、学生板书解题过程，有利于及时发现问题并当堂订正5、思考探究，反馈回授课后思考题：如果函数在（，a)上是单调递增函数，在a,+ )上也是单调递增函数，那么该函数在（， +）上
7、是不是单调递增函数？启发学生思考6、课堂小结归纳小结深化目标1、掌握单调函数的定义要注意x1,x2满足区间上的任意性，说函数单调性一定要说哪个区间上的。函数的单调区间应为定义域的子集，单调区间不能以并集形式出现2、证明函数单调性的方法（1） 任取，且（2） 作差定号（通分、因式分解、配方等方法）（3） 下结论强化训练、巩固本节所学知识本环节全面小结所学知识，知识技能，使学生既学了知识，又培养了能力，扩展知识，激发兴趣【板书设计】课题：函数的单调性一、函数单调性定义1、 增函数、减函数2、 单调性、单调区间二、例题 例1例2例3三、课堂练习1、2、四、小结1、2、【教后反思】本节课是学习函数单调
8、性的第一节课，通过这堂课的学习要让学生掌握增函数、减函数以及单调性、单调区间的定义，能够利用定义来证明一个函数在某个区间上单调递增或单调递减。函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过,但只是从图像上直观地体会图像的上升与下降的过程,而现在要求把它上升到理论的高度,用准确的数学语言去刻画它。这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的,因此我借助在学习函数奇偶性是用过的数形结合的数学思想，从图形切入，在黑板上画出函数和的图像，利用三角尺边的移动，代给学生以点在运动、点的坐标在发生变化的感受，然后从形和数两个角度引领学生去观察：随着点往右移动，即函数图像上点的横坐标
9、x逐渐增大，这个点同时也在不断上升(下降)，即函数图像上点的纵坐标y也随着逐渐增大(减小)，从而引出了增(减)函数的定义。通过这种形象与抽象相结合的方式，使较为抽象的增(减)函数定义问题变得易于理解。课堂效果达到预期的设计目标。单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的,许多学生甚至还搞不清什么是代数证明,也没有意识到它的重要性,所以单调性的证明是教学中的难点。因此在教学过程当中，例1和例2和例3以启发学生思考回答，老师在黑板上板书的形式让学生对用定义来证明函数单调性有一个初步的了解，然后，让学生模仿老师的范例，独立证明变式训练中的1、2两题，对于学生在解题中出现的诸如说理不够具体或书写不够规范等问题，及时指出，并予以纠正。然后提出让学生归纳出证明的步骤，得到归纳问题的思维训练。在整堂课的教学过程当中，我注意在给予学生数学知识的同时，让学生体会数学通用的思想方法。既有老师的讲授，又留有时间与空间让学生自动探究、合作交流。当然这节课也存在着一些不足之处，有待在今后的教学过程中努力学习、完善。
